Porcentaje inverso: el precio antes del descuento

Una etiqueta de oferta dice «15% de descuento», pagas $63,75 en caja, y quieres saber cuánto costaba el artículo antes del descuento. Este es un problema de porcentaje inverso — tienes el resultado y la tasa, y necesitas el número inicial. Confunde a la gente porque el instinto es volver a aplicar el porcentaje hacia adelante, lo que da la respuesta equivocada. Esta guía cubre la fórmula correcta, por qué falla el atajo obvio, y cómo se aplica la misma lógica a impuestos, propinas y aumentos de sueldo.

La fórmula

Un descuento quita un porcentaje del precio original, así que:

Precio de oferta = Original × (1 − r)

donde r es el descuento en decimal. Despeja el original dividiendo en lugar de multiplicar:

Original = Precio de oferta ÷ (1 − r)

Para un descuento del 15%, r = 0,15, así que divides entre 0,85. Un precio de oferta de $63,75 da 63,75 ÷ 0,85 = 75 — el precio original era $75. Puedes verificarlo: el 15% de $75 es $11,25, y $75 − $11,25 = $63,75. Cuadra.

Por qué falla el atajo de sumar el porcentaje de vuelta

El error es tratar el precio de oferta como la base para sumarlo de vuelta. Si tomas el 15% de $63,75 (el precio de oferta) y lo sumas, obtienes $63,75 + $9,56 = $73,31 — con un error de $1,69 respecto a los $75 correctos. La razón: el 15% se restó del precio original, un número mayor, así que el 15% del original es una cantidad en dólares mayor que el 15% del precio de oferta más pequeño. Los porcentajes siempre son relativos a su base, y aquí la base es el número que intentas hallar, no el número que ya tienes. Esta es la misma confusión de base que aparece en diferencias de puntos porcentuales vs porcentajes — la dirección del cálculo cambia cuál número es el denominador.

La misma lógica al revés para los aumentos

La forma general funciona también para aumentos, solo que con suma en lugar de resta:

Original = Final ÷ (1 + r)

Una versión común del mundo real: el total de un recibo de $107 incluye un 7% de impuesto sobre ventas. El precio antes de impuesto es 107 ÷ 1,07 = $100, no 107 − (107 × 0,07) (que da $99,51, el número equivocado por la misma razón de arriba). Un aumento de sueldo funciona igual: si tu nuevo salario es $54.000 después de un aumento del 8%, tu salario anterior era 54.000 ÷ 1,08 = $50.000, no 54.000 menos el 8% de 54.000.

Descuentos encadenados y repetidos

A veces el comercio apila dos porcentajes — digamos, 20% de descuento, y luego un 10% extra en caja. Estos no suman 30%; cada porcentaje se aplica al precio ya reducido:

Final = Original × (1 − 0,20) × (1 − 0,10) = Original × 0,72

Un descuento apilado de 20% y 10% equivale a un único descuento del 28%, no 30%, porque el segundo porcentaje se calcula sobre una base menor después del primer recorte. Para revertir un descuento encadenado, divide entre cada factor por turno: Original = Final ÷ 0,90 ÷ 0,80. El orden no importa para la división ya que la multiplicación es conmutativa, pero saltarse un paso y dividir entre 0,70 en lugar de 0,72 sobreestimará el precio original.

Referencia rápida por escenario

Siempre que estés revirtiendo un porcentaje, pregúntate en qué dirección movió el número el porcentaje original, y luego aplica la operación opuesta a la misma base:

• Descuento aplicado → divide el resultado entre (1 − tasa) para obtener el original.
• Impuesto o margen añadido → divide el resultado entre (1 + tasa) para obtener el precio antes del impuesto o margen.
• Múltiples porcentajes secuenciales → divide entre cada factor por separado, en cualquier orden.

La calculadora de porcentaje de este sitio maneja la dirección hacia adelante — porcentaje de un número, un número como porcentaje de otro, y cambio porcentual con signo — con la fórmula mostrada para cada resultado, así que puedes verificar un cálculo inverso ejecutando la versión hacia adelante y confirmando que vuelve a caer en tu cifra conocida.