Media armónica

La media armónica de n valores es n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ), el recíproco de la media aritmética de los recíprocos. Es el promedio correcto cuando se promedian tasas expresadas como unidades de razón (millas por hora, solicitudes por segundo, dólares por artículo).

Ejemplo canónico. Conduce 60 millas a 30 mph, luego 60 millas a 60 mph. ¿Cuál es la velocidad promedio?

• Media aritmética: (30 + 60) / 2 = 45 mph. Incorrecto.
• Media armónica: 2 / (1/30 + 1/60) = 40 mph. Correcto.

Verificación: total 120 millas, tiempo total = 60/30 + 60/60 = 2 + 1 = 3 horas. 120 / 3 = 40 mph. La media armónica lo calcula exactamente; la media aritmética pondera sistemáticamente en exceso la tasa más alta.

La media armónica siempre es ≤ la media geométrica ≤ la media aritmética. La cadena MA ≤ MG ≤ MM es una de las desigualdades clásicas de las matemáticas. Elegir la incorrecta es la causa silenciosa de muchos errores aritméticos del mundo real: cifras de consumo de combustible promediadas, rendimiento de red calculado, tiempo medio entre fallos para sistemas paralelos.

Usa la media armónica siempre que el “promedio” natural sea una tasa sobre un numerador constante (distancia constante, trabajo constante a realizar). Usa la media aritmética para cantidades aditivas (alturas, puntuaciones). Usa la media geométrica para cantidades multiplicativas (rendimientos compuestos).

La puntuación F1 en aprendizaje automático: la media armónica aparece en todas partes en las métricas de clasificación porque la precisión y la exhaustividad viven en escalas opuestas. La puntuación F1 = 2 × precisión × exhaustividad / (precisión + exhaustividad) es exactamente la media armónica de la precisión y la exhaustividad, penalizando el desequilibrio más duramente que la media aritmética. Un clasificador con 95% de precisión y 10% de exhaustividad tiene media aritmética del 52,5% pero puntuación F1 del 18,1%. La media armónica dice correctamente “este es un mal modelo” mientras que la media aritmética sugiere un lanzamiento de moneda. Referencia: NIST/SEMATECH e-Handbook — Media armónica.

Resistencias en paralelo y la media armónica. La resistencia total de n resistencias en paralelo es 1 / (1/R₁ + ... + 1/Rₙ), que es la media armónica de las resistencias dividida por n. Dos resistencias de 100 Ω en paralelo dan 50 Ω, que es la media armónica de (100, 100) dividida por 2. La misma identidad rige para tuberías paralelas que transportan fluido, procesadores paralelos que dividen una carga de trabajo y conexiones de base de datos paralelas bajo un límite de grupo de conexiones: cualquier cosa donde la cantidad limitante sea reciprocamente aditiva en lugar de aditiva. Reconocer la media armónica en estos contextos evita tener que derivar la fórmula cada vez.

Por qué la media armónica es sensible a los valores pequeños. Dado que cada término contribuye a través de su recíproco, un único valor cercano a cero arrastra toda la media hacia cero. Un conjunto de datos de (1, 1, 1, 1, 0,01) tiene media aritmética de 0,802 pero media armónica de 0,0476: el único valor pequeño domina. Esto es una característica, no un defecto: al promediar tasas, un tramo lento del viaje debería arrastrar el promedio general hacia abajo porque se pasa una cantidad desproporcionada de tiempo a esa velocidad lenta. La misma propiedad hace que la media armónica no sea adecuada para datos que contienen legítimamente valores cercanos a cero (y es indefinida cuando cualquier valor es exactamente cero, ya que 1/0 es indefinido).

Calcular la media armónica sin perder precisión. La fórmula ingenua n / sum(1/x) acumula errores de redondeo cuando los valores abarcan muchos órdenes de magnitud. Un enfoque más estable numéricamente es calcular los recíprocos con mayor precisión, ordenarlos por magnitud, sumarlos del más pequeño al más grande y luego tomar el recíproco. Para la mayoría de los conjuntos de datos cotidianos la forma ingenua está bien; para cálculos financieros que abarcan fracciones de un punto básico junto a múltiplos enteros, la variante ordenada da 2–3 dígitos de precisión adicionales. La calculadora de estadísticas de Convertitive usa doble precisión en todos los casos, suficientemente precisa para cualquier conjunto de datos donde cada valor quepa en un JavaScript Number.