Z-score

Z-score (o puntuación estándar) mide cuántas desviaciones estándar está un valor por encima o por debajo de la media. Fórmula: z = (x − media) ÷ desviación_estándar.

Un valor con z = 0 es la media. z = 1 está una desviación estándar por encima de la media. z = −2 está dos desviaciones estándar por debajo. Para una distribución aproximadamente normal, |z| > 2 cubre alrededor del 5 % de los valores; |z| > 3 cubre alrededor del 0,3 %.

El objetivo de convertir a z-scores: pone diferentes escalas en el mismo patrón de medida. Un 75 en un examen de matemáticas donde la media de la clase es 70 con DE 10 da z = 0,5. Un 68 en un examen de francés donde la media es 65 con DE 5 da z = 0,6. La nota de francés es relativamente mejor, algo que las notas brutas no pueden decirte.

Los z-scores aparecen en pruebas estandarizadas (SAT, GMAT), rangos de referencia clínicos (densidad ósea, curvas de crecimiento), control de calidad (índices de capacidad del proceso) y cualquier contexto en el que necesites comparar entre poblaciones con diferentes medias y dispersiones.

Nuestra calculadora de estadísticas calcula la media y la desviación estándar; el z-score es una resta seguida de una división sobre el resultado.

Del z-score al percentil, y viceversa: para una distribución normal, la función de distribución acumulada (Φ) convierte directamente los z-scores en percentiles. z = 0 → percentil 50 (la mediana), z = 1 → ~84, z = 1,645 → 95, z = 1,96 → 97,5 (el límite estándar de confianza del 95 % bilateral), z = 2,576 → 99,5. Estos puntos de corte son la columna vertebral de las pruebas de hipótesis — un z-score de 1,96 es el valor por encima del cual una prueba bilateral rechaza la hipótesis nula con α = 0,05. Para datos no normales, el z-score sigue midiendo “desviaciones respecto a la media en unidades de DE”, pero el percentil correspondiente depende de la distribución real y no es intercambiable con las tablas normales.

Z-scores robustos para datos desordenados: los valores atípicos inflan la desviación estándar, lo que deflacta todos los z-scores del conjunto de datos y oculta los propios valores atípicos que intentabas detectar. El z-score modificado (Iglewicz y Hoaglin, 1993) usa la mediana y la desviación absoluta mediana (MAD) en lugar de la media y la DE: z_modificado = 0,6745 · (x − mediana) / MAD. La constante 0,6745 escala la MAD para que, para datos normales, el z-score modificado coincida con el convencional. La convención es marcar |z_modificado| > 3,5 como valor atípico — robusto frente a contaminación de una manera que el z-score estándar no lo es. Relacionado: percentil, desviación estándar muestral, desviación estándar explicada.

Ejemplo práctico

Una niña de dos años mide 89 cm de altura. Los datos de la tabla de crecimiento de la OMS para niñas de dos años tienen media 86,4 cm, DE 3,3 cm. Z-score: z = (89 − 86,4) / 3,3 = 0,79. Consultando ese z en la tabla normal estándar se obtiene un percentil de ~78 — más alta que el 78 % de las niñas de dos años, bien dentro del rango normal (los pediatras derivan para evaluación alrededor de z < −2 o z > 2, correspondiente aproximadamente a percentil <2,3 o >97,7). El peso de 14 kg de la misma niña frente a media 12,3 kg, DE 1,4 kg: z = (14 − 12,3) / 1,4 = 1,21 → ~percentil 89. Representar el z de altura (0,79) frente al z de peso (1,21) muestra que la niña pesa más de lo esperado para su altura — una señal clínica más útil que cualquiera de las medidas brutas por separado.

Cuándo y por qué importa

Los z-scores permiten comparar manzanas con naranjas eliminando la escala. Impulsan las tablas de crecimiento de la OMS y los CDC, la normalización de puntuaciones FICO y otras puntuaciones de crédito, el Test de Cooper en la evaluación física, los índices de capacidad del proceso de Six Sigma (un proceso de 6σ significa que el límite de especificación más cercano está en z = 6 — aproximadamente dos defectos por mil millones) y casi todas las pruebas de hipótesis en estadística (la t de Student, ANOVA y la significación de los coeficientes de regresión se reducen todas a una razón similar al z de efecto respecto al error estándar). La trampa a conocer: los z-scores asumen que la distribución subyacente es al menos aproximadamente normal. Para datos muy asimétricos (ingresos, tiempo de respuesta, tamaño de archivos), un z de 3 no es el percentil 99,87 — se necesitan z-scores robustos o métodos no paramétricos en su lugar. Referencia: Estándares de crecimiento infantil de la OMS.