Correction de Bessel

La correction de Bessel est la convention consistant à diviser par N−1 au lieu de N lors du calcul de la variance et de l’écart-type d’un échantillon. La correction compense la sous-estimation systématique de la variance de la population qui résulte de l’utilisation de la moyenne de l’échantillon (qui est plus proche des données que la vraie moyenne de la population inconnue ne le serait) comme point de centrage.

Nommée d’après Friedrich Bessel, astronome et mathématicien allemand du XIXe siècle. La preuve mathématique : E[Σ(x − x̄)²] = (N−1)σ² où σ² est la vraie variance de la population et l’espérance s’étend sur tous les échantillons possibles de taille N. Diviser la somme observée par N−1 produit un estimateur non biaisé de σ².

Pour un grand N, la correction est négligeable (1/N vs 1/(N−1) diffèrent de moins de 1 % au-delà de N=100). Pour un petit N, elle importe de manière significative — à N=5, la variance corrigée est 25 % plus grande que la version non corrigée. Notre calculateur de statistiques utilise par défaut la forme corrigée de Bessel car l’ensemble de données que vous collez est presque toujours un échantillon, pas une population complète.

Quand ne pas appliquer la correction de Bessel : lorsque vous disposez réellement de l’ensemble de la population, pas d’un échantillon tiré de celle-ci. Si vous calculez la variance des notes de test de chaque élève d’une classe et que vous ne vous intéressez qu’à cette classe, divisez par N. Si vous utilisez cette classe pour estimer la variance dans l’ensemble de la population d’élèves, divisez par N−1. Les packages statistiques ne sont pas d’accord sur la valeur par défaut : np.var() de NumPy utilise N ; .var() de pandas et var() de R utilisent N−1. Lisez la documentation avant de citer un chiffre.

La correction de Bessel supprime le biais de la variance mais l’écart-type d’échantillon dérivé (la racine carrée) est toujours légèrement biaisé — la racine carrée est une fonction non linéaire et l’inégalité de Jensen entre en jeu. Pour la plupart des usages pratiques, ce biais résiduel est ignoré ; pour les travaux sur petits échantillons où cela importe, utilisez un facteur de correction c4. Voir aussi écart-type d’échantillon et variance.

Pourquoi cela importe : un exemple pratique

Considérez un échantillon de cinq notes de test : 72, 78, 80, 84, 86. La moyenne est 80. La somme des écarts au carré par rapport à la moyenne est (72−80)² + (78−80)² + (80−80)² + (84−80)² + (86−80)² = 64 + 4 + 0 + 16 + 36 = 120. Sans la correction de Bessel, la variance est 120 ÷ 5 = 24 ; avec la correction de Bessel, elle est 120 ÷ (5−1) = 30, soit une estimation 25 % plus grande. Les écarts-types correspondants sont √24 ≈ 4,90 et √30 ≈ 5,48. Si vous traitez ceci comme un échantillon tiré d’une population d’élèves plus grande, 5,48 est l’estimation non biaisée de la dispersion de la population ; 4,90 la sous-estime systématiquement. À N = 30, l’écart se réduit à 3,4 % ; à N = 100, il est de 1 % ; à N = 1000, il est de 0,1 %. La correction vaut sa complexité uniquement pour les vrais petits échantillons.

Pourquoi cela importe : intervalles de confiance et tests t

Toute procédure qui utilise l’écart-type de l’échantillon comme estimateur de substitution de l’écart-type de la population dépend de l’application de la correction de Bessel. Les intervalles de confiance autour d’une moyenne, les tests t à deux échantillons, les statistiques F de l’ANOVA et les erreurs standard de régression supposent tous le dénominateur non biaisé N−1. Oublier la correction produit des intervalles de confiance plus étroits que la réalité ne le justifie et gonfle les taux d’erreur de type I — une source discrète mais réelle de résultats non reproductibles dans les travaux empiriques sur petits échantillons. Référence : Manuel e-Statistique NIST/SEMATECH §1.3.5.6 — Écart-type.