Moyenne harmonique

La moyenne harmonique de n valeurs est n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ) — le réciproque de la moyenne arithmétique des réciproques. C’est la bonne moyenne pour calculer la moyenne de taux exprimés en unités de ratio (miles par heure, requêtes par seconde, euros par article).

Exemple canonique. Conduisez 60 km à 30 km/h, puis 60 km à 60 km/h. Quelle est la vitesse moyenne ?

• Moyenne arithmétique : (30 + 60) / 2 = 45 km/h. Incorrect.
• Moyenne harmonique : 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h. Correct.

Vérification : 120 km au total, temps total = 60/30 + 60/60 = 2 + 1 = 3 heures. 120 / 3 = 40 km/h. La moyenne harmonique est exacte ; la moyenne arithmétique surpondère systématiquement le taux le plus élevé.

La moyenne harmonique est toujours ≤ la moyenne géométrique ≤ la moyenne arithmétique. La chaîne MH ≤ MG ≤ MA est l’une des inégalités classiques en mathématiques. Choisir la mauvaise est la cause silencieuse de nombreuses erreurs arithmétiques dans le monde réel — chiffres de consommation de carburant moyennés, débit réseau calculé, temps moyen avant panne pour les systèmes parallèles.

Utilisez la moyenne harmonique chaque fois que la “moyenne” naturelle est un taux sur un numérateur constant (distance constante, travail constant à effectuer). Utilisez la moyenne arithmétique pour les grandeurs additives (tailles, scores). Utilisez la moyenne géométrique pour les grandeurs multiplicatives (rendements composés).

Le score F1 en apprentissage automatique : la moyenne harmonique apparaît partout dans les métriques de classification car la précision et le rappel vivent sur des échelles concurrentes. Le score F1 = 2 × précision × rappel / (précision + rappel) est exactement la moyenne harmonique de la précision et du rappel — pénalisant le déséquilibre plus sévèrement que la moyenne arithmétique ne le ferait. Un classifieur avec 95 % de précision et 10 % de rappel a une moyenne arithmétique de 52,5 % mais un score F1 de 18,1 %. La moyenne harmonique dit correctement “c’est un mauvais modèle” alors que la moyenne arithmétique suggère un tirage à pile ou face. Chaque framework d’évaluation ML moderne utilise par défaut les scores F pour cette raison. Référence : NIST/SEMATECH e-Handbook — Moyenne harmonique.

Résistances en parallèle et moyenne harmonique. La résistance totale de n résistances en parallèle est 1 / (1/R₁ + ... + 1/Rₙ), qui est la moyenne harmonique des résistances divisée par n. Deux résistances de 100 Ω en parallèle donnent 50 Ω, qui est la moyenne harmonique de (100, 100) divisée par 2. La même identité régit les tuyaux parallèles transportant un fluide, les processeurs parallèles se partageant une charge de travail et les connexions de base de données parallèles sous un plafond de pool de connexions — tout ce dont la grandeur limite est réciproquement additive plutôt qu’additive. Reconnaître la moyenne harmonique dans ces contextes vous évite de dériver la formule à chaque fois.

Pourquoi la moyenne harmonique est sensible aux petites valeurs. Parce que chaque terme contribue via son réciproque, une seule valeur proche de zéro tire toute la moyenne vers zéro. Un ensemble de données de (1, 1, 1, 1, 0,01) a une moyenne arithmétique de 0,802 mais une moyenne harmonique de 0,0476 — la seule petite valeur domine. C’est une caractéristique, pas un défaut : lors de la moyenne des taux, une étape lente du trajet devrait faire baisser la moyenne globale car vous passez une quantité disproportionnée de temps à ce taux lent. La même propriété rend la moyenne harmonique inadaptée aux données qui contiennent légitimement des valeurs proches de zéro (et indéfinie lorsqu’une valeur est exactement zéro, car 1/0 est indéfini).

Calculer la moyenne harmonique sans perdre de précision. La formule naïve n / sum(1/x) accumule des erreurs d’arrondi lorsque les valeurs s’étendent sur plusieurs ordres de grandeur. Une approche plus numériquement stable consiste à calculer les réciproques avec une plus grande précision, les trier par magnitude, les additionner du plus petit au plus grand, puis prendre le réciproque. Pour la plupart des ensembles de données courants, la forme naïve est correcte ; pour les calculs financiers couvrant des fractions d’un point de base aux multiples entiers, la variante triée donne 2-3 chiffres supplémentaires de précision. La calculatrice statistiques de Convertitive utilise la double précision tout au long, ce qui est suffisamment précis pour tout ensemble de données où chaque valeur tient dans un JavaScript Number.