Méthodologie finance

Cinq outils figurent aujourd’hui sous le pilier Finance de Convertitive : hypothèque, intérêts composés, pourboire, taxe de vente et remise. Les cinq sont des calculs en forme fermée purement mathématiques — sans ajustements propriétaires, sans emballage marketing, sans requête vers un service de taux distant.

Cette page détaille la formule derrière chacun afin que vous puissiez (a) reproduire le résultat à la main et (b) citer le calcul partout où il doit être défendable.

Hypothèque — la formule standard du prêt amortissable

La mensualité d’une hypothèque à taux fixe est la valeur unique qui, appliquée chaque mois sur toute la durée, ramène le solde du prêt à zéro. La forme fermée est :

M = P · r / (1 − (1 + r)^−n)

Où Pest le capital (prix du bien moins l’apport personnel), r est le taux mensuel (APR annuel ÷ 12, exprimé en décimal) et n est le nombre total de mensualités (années × 12).

Dérivation

La formule est simplement l’équation de la valeur actuelle d’une annuité résolue pour la mensualité. La valeur actuelle de n paiements égaux de M au taux mensuel r est M · (1 − (1 + r)^−n) / r. En égalisant avec le capital P et en résolvant pour M, on obtient la formule ci-dessus.

Cas limites

• Taux d’intérêt nul. La formule présente une limite 0/0 en r = 0. Nous le traitons explicitement : à 0 % d’APR, la mensualité est simplement P / n.
• Mois décimaux. La formule utilise un nentier. Nous arrondissons années × 12 à l’entier le plus proche avant l’évaluation.

Ce qui n’est pas inclus

Taxe foncière, assurance habitation, charges de copropriété et PMI. Ce sont tous des composants réels des dépenses mensuelles d’un propriétaire (le “PITI”), mais ils varient selon la juridiction, le bien et le prêteur. Les inclure obligerait le calculateur à poser 8 questions supplémentaires ou à deviner. Nous avons choisi de ne retourner que le capital + les intérêts afin que les calculs restent auditables.

Intérêts composés — valeur future avec contributions périodiques

Les intérêts composés suivent la formule classique de valeur future avec contributions. Pour un capital P, un taux annuel R (en pourcentage), une capitalisation k fois par an pendant t années, avec une contribution C en fin de chaque période :

FV = P · (1 + r)^n + C · ((1 + r)^n − 1) / r

Où r = R/100/k et n = k · t. En r = 0, la formule dégénère en FV = P + C · n ; nous gérons ce cas explicitement.

Convention de timing des contributions

Les contributions sont supposées arriver à la finde chaque période (convention de l’annuité ordinaire). Les contributions en début de période génèrent une période de croissance supplémentaire ; la différence est faible avec une capitalisation mensuelle mais devient significative à des fréquences annuelles sur de longues durées. Si vous avez besoin du calcul en début de période, multipliez notre résultat par (1 + r).

Pourboire — addition directe

Le calculateur de pourboire gère trois nombres — montant de la note, pourcentage de pourboire, pourcentage de taxe optionnel — et un dénominateur, la taille du groupe. La formule est :

total = note · (1 + pourboire%/100 + taxe%/100)
par_personne = total / max(1, taille_groupe)

L’étiquette US applique le pourboire à la note hors taxe, donc nous mettons le champ taxe à zéro par défaut et le laissons comme saisie séparée. Si votre juridiction traite la taxe comme faisant partie du montant soumis au pourboire, multipliez mentalement le pourboire par (1 + taxe).

Taxe de vente — et le piège de la rétro-inversion

Ajouter une taxe est de l’arithmétique élémentaire. La retrouver pose problème car le pourcentage s’applique à la base hors taxe, pas au total. Pour un total T et un taux x (en décimal) :

pretax = T / (1 + x)

Erreur courante : calculer T − T·x. Cela utilise la mauvaise base et sous-estime le montant hors taxe de T · x². À 8 % de taxe, c’est une erreur de 0,64 % sur le chiffre hors taxe — faible mais suffisant pour être faux sur une note de frais.

Remises cumulées — multiplicatives, pas additives

Les remises cumulées s’appliquent au prix courant, pas au prix d’origine. Pour une liste de remises en pourcentage d₁, d₂, …, dₙ chacune en forme décimale, la remise combinée effective est :

d_eff = 1 − (1 − d₁)(1 − d₂)…(1 − dₙ)

Ainsi, 20 % de remise puis 10 % de remise donnent 1 − 0,80 · 0,90 = 0,28, soit une remise effective de 28 % — et non 30 % comme le suggérerait une addition naïve. L’ordre n’affecte pas le résultat car la multiplication est commutative.

Politique de précision

Chaque calcul Finance utilise la double précision IEEE 754 native de JavaScript. Cela offre environ 15 à 17 chiffres significatifs, largement suffisant pour tout scénario de finance personnelle réaliste. La sortie est arrondie à deux décimales pour l’affichage car l’argent est libellé en centimes.

Nous n’utilisons pas BigInt ni de bibliothèques à précision arbitraire ici. Le cluster Crypto le fait (voir /methodology/crypto/ quand il sera disponible) car les montants en crypto peuvent dépasser 18 chiffres, mais les montants Finance ne peuvent pas dans un cas d’utilisation raisonnable.

Sources utilisées

• La formule hypothécaire est la fonction PMT standard utilisée par Microsoft Excel, LibreOffice Calc et tout manuel bancaire grand public. Elle n’est propriétaire d’aucune institution ; elle précède entièrement l’informatique électronique.
• Les intérêts composés correspondent à la formule de valeur actuelle d’une annuité couverte dans tout manuel de finance de première année. La forme incluant les contributions est parfois appelée formule du “fonds d’amortissement” dans la littérature ancienne.
• Les fourchettes de pourboires US sont tirées d’un sondage Pew Research 2024 et recoupées avec les données sectorielles de la National Restaurant Association. Le calculateur ne choisit pas un pourcentage pour vous ; c’est votre choix.
• Les mathématiques de la taxe de vente sont de l’algèbre élémentaire. Il n’existe pas de tables faisant autorité pour les taux par juridiction car il en existe plus de 13 000 rien qu’aux États-Unis, avec des changements de taux en cours d’année ; nous laissons le taux comme saisie.