Méthodologie mathématiques

Le cluster Mathpropose trois outils aujourd’hui — pourcentage, surface et statistiques descriptives. Les mathématiques relèvent de l’algèbre élémentaire ; la valeur réside dans les conventions (quelle formule pour la variance, quelle interpolation pour le percentile, que faire quand les entrées sont dégénérées) et dans le fait de les avoir correctes.

Pourcentage — trois formules, un outil

Le calculateur de pourcentage couvre les trois questions qui représentent ~95 % des requêtes sur les pourcentages :

1. X% de Y— la forme “trouver une portion”. résultat = (X / 100) × Y.
2. X représente quel % de Y— la forme “ratio en pourcentage”. résultat = (X / Y) × 100. Retourne null si Y est zéro.
3. Variation en % de X à Y — delta signé. résultat = ((Y − X) / X) × 100. Retourne null si X est zéro (division par zéro, pas Infinity).

La troisième est celle qui génère le plus de confusion. La variation en pourcentage est signée et utilise la valeur de départ comme base. La différenceen pourcentage (utilisée dans certains contextes scientifiques) utilise la moyenne des deux valeurs comme base et n’est pas signée. Notre outil calcule la variation en pourcentage.

Surface — formule de Héron pour les triangles

Le calculateur de surfacecouvre huit formes. Sept sont de l’algèbre directe :

• Rectangle : A = l × h
• Carré : A = c²
• Cercle : A = π · r²
• Triangle (base × hauteur) : A = ½ · b · h
• Trapèze : A = ½ · (a + b) · h
• Ellipse : A = π · a · b
• Polygone régulier à n côtés : A = (n · c²) / (4 · tan(π / n))

La huitième est la forme triangle-à-partir-de-trois-côtés, qui utilise la formule de Héron :

A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) · où s = (a + b + c) / 2

La formule de Héron est l’un des résultats les plus anciens de la géométrie élémentaire — Héron d’Alexandrie l’a publiée au 1er siècle de notre ère. Elle calcule la surface d’un triangle à partir de ses trois longueurs de côtés uniquement, sans avoir besoin d’une hauteur. Si les trois côtés violent l’inégalité triangulaire (un côté ≥ somme des deux autres), la quantité sous la racine carrée est négative et nous retournons 0 plutôt que NaN.

Dérivation de la formule du polygone régulier

Divisez un polygone régulier à n côtés de longueur c en ntriangles isocèles, chacun avec le sommet au centre. L’angle au sommet de chacun est 2π / n radians. La base de chaque triangle est c; sa hauteur (l’apothème) est c / (2 · tan(π / n)). La surface du triangle est donc c² / (4 · tan(π / n)) et la surface du polygone est n fois cela.

Statistiques — échantillon vs population

Le calculateur de statistiques retourne la moyenne, la médiane, le mode, la variance, l’écart-type, l’étendue et les quartiles pour tout jeu de données collé par l’utilisateur. Deux décisions sont importantes :

Variance : échantillon (n−1) vs population (n)

La formule classique de la variance de population est :

σ² = Σ(x − μ)² / n

Pour un échantillontiré d’une population plus grande, la moyenne de l’échantillon est plus proche des données que la vraie moyenne de population — donc la somme des déviations au carré sous-estime la vraie variance. La correction de Bessel divise par n − 1 au lieu de n pour supprimer ce biais :

s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)

Notre valeur par défaut est la forme échantillon (avec la correction) car la plupart des utilisateurs collent des échantillons, pas des énumérations exhaustives. Un interrupteur dans l’interface bascule vers la forme population si nécessaire. Pour un n grand, la différence est négligeable ; pour un petit n, elle est significative.

Percentile : interpolation linéaire NIST

Le percentile est ambigu — il existe au moins neuf algorithmes documentés (R les utilise tous sous différents paramètres `type`). Nous utilisons le plus simple qui soit défendable : interpolation linéaire entre les deux rangs les plus proches. Le 50e percentile est égal à la médiane ; le 0e est le minimum ; le 100e est le maximum. Le 25e percentile de [1, 2, …, 10] est 3,25, situé un quart du chemin entre le rang 3 (valeur 3) et le rang 4 (valeur 4).

C’est la valeur par défaut NIST, la valeur par défaut de NumPy (mode `linear`) et le type 7 par défaut de R. C’est continu — les petits changements de données produisent de petits changements de percentile — ce qui est idéal pour les visualisations et les tableaux de bord.

Gestion du mode

Le mode est la valeur (ou les valeurs) ayant la fréquence la plus élevée. Nous retournons toutesles valeurs à fréquence maximale ex-aequo, triées, de sorte qu’un jeu bimodal comme [1, 1, 2, 2, 3] retourne le mode [1, 2] plutôt que d’en choisir un arbitrairement. Si chaque valeur du jeu de données apparaît exactement une fois, il n’y a pas de mode par définition et nous retournons un tableau vide (affiché comme “—”).

Précision et cas limites

• Entrée vide.Toutes les statistiques sommaires retournent NaN ; le mode retourne le tableau vide. L’interface affiche “—” pour toute valeur NaN.
• Variance d’échantillon à valeur unique. Le diviseur n−1 produit une division par zéro. Nous retournons NaN plutôt qu’Infinity.
• Tokens non numériques dans l’analyseur. Supprimés silencieusement. Coller “1, 2, banane, 3” produit un jeu de données à trois valeurs.