Media armonica

La media armonica di n valori è n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ) — il reciproco della media aritmetica dei reciproci. È la media giusta quando si calcolano la media dei tassi espressi come unità-rapporto (miglia per ora, richieste al secondo, euro per articolo).

Esempio canonico. Guida 60 km a 30 km/h, poi 60 km a 60 km/h. Qual è la velocità media?

• Media aritmetica: (30 + 60) / 2 = 45 km/h. Errata.
• Media armonica: 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h. Corretta.

Verifica di sanità: 120 km totali, tempo totale = 60/30 + 60/60 = 2 + 1 = 3 ore. 120 / 3 = 40 km/h. La media armonica centra il risultato; la media aritmetica sovrastima sistematicamente il tasso più alto.

La media armonica è sempre ≤ media geometrica ≤ media aritmetica. La catena MA ≤ MG ≤ MA è una delle disuguaglianze classiche in matematica. Scegliere quella sbagliata è la causa silenziosa di molti errori aritmetici nel mondo reale — medie di consumo di carburante, throughput di rete calcolato, tempo medio al guasto per sistemi in parallelo.

Usa la media armonica ogni volta che la “media” naturale è un tasso su un numeratore costante (distanza costante, lavoro costante da svolgere). Usa la media aritmetica per quantità additive (altezze, punteggi). Usa la media geometrica per quantità moltiplicative (rendimenti composti).

Il punteggio F1 nel machine learning: la media armonica compare ovunque nelle metriche di classificazione perché precisione e richiamo vivono su scale in competizione. Il punteggio F1 = 2 × precisione × richiamo / (precisione + richiamo) è esattamente la media armonica di precisione e richiamo — penalizzando lo squilibrio più duramente di quanto farebbe la media aritmetica. Un classificatore con il 95% di precisione e il 10% di richiamo ha una media aritmetica del 52,5% ma un punteggio F1 del 18,1%. La media armonica dice correttamente “questo è un modello scarso” mentre la media aritmetica suggerisce il lancio di una moneta. Ogni framework moderno di valutazione ML usa come default gli F-score per questo motivo. Riferimento: NIST/SEMATECH e-Handbook — Media armonica.

Resistori in parallelo e media armonica. La resistenza totale di n resistori in parallelo è 1 / (1/R₁ + ... + 1/Rₙ), che è la media armonica delle resistenze divisa per n. Due resistori da 100 Ω in parallelo danno 50 Ω, che è la media armonica di (100, 100) divisa per 2. La stessa identità guida tubi paralleli che trasportano fluido, processori paralleli che dividono un carico di lavoro e connessioni parallele a database sotto un limite di connection pool — qualsiasi cosa in cui la quantità limitante sia reciprocamente additiva piuttosto che additiva. Riconoscere la media armonica in questi contesti ti risparmia di ri-derivare la formula ogni volta.

Perché la media armonica è sensibile ai valori piccoli. Poiché ogni termine contribuisce tramite il suo reciproco, un singolo valore vicino a zero trascina l’intera media verso zero. Un dataset di (1, 1, 1, 1, 0,01) ha media aritmetica 0,802 ma media armonica 0,0476 — il singolo valore piccolo domina. Questa è una caratteristica, non un difetto: quando si calcolano la media dei tassi, un tratto lento del viaggio dovrebbe abbassare la media complessiva perché si trascorre una quantità sproporzionata di tempo a quel tasso lento. La stessa proprietà rende la media armonica inadatta per dati che legittimamente contengono valori quasi zero (e indefinita quando qualsiasi valore è esattamente zero, perché 1/0 è indefinito).

Calcolare la media armonica senza perdere precisione. La formula ingenua n / sum(1/x) accumula errori di arrotondamento quando i valori spaziano molti ordini di grandezza. Un approccio più stabile numericamente è calcolare i reciproci con maggiore precisione, ordinarli per grandezza, sommare dal più piccolo al più grande, poi prendere il reciproco. Per la maggior parte dei dataset quotidiani la forma ingenua va bene; per calcoli finanziari che spaziano da frazioni di un basis point a multipli interi, la variante ordinata fornisce 2-3 cifre di accuratezza aggiuntive. Il calcolatore di statistiche di Convertitive usa la doppia precisione in tutto, il che è sufficientemente accurato per qualsiasi dataset in cui ogni valore rientra in un Number JavaScript.