Z-score

Z-score (o punteggio standard) misura quante deviazioni standard un valore si trova sopra o sotto la media. Formula: z = (x − media) ÷ deviazione_standard.

Un valore con z = 0 è la media. z = 1 è una deviazione standard sopra la media. z = −2 è due deviazioni standard sotto. Per una distribuzione approssimativamente normale, |z| > 2 copre circa il 5% dei valori; |z| > 3 copre circa lo 0,3%.

Il punto di convertire agli z-score: mette scale diverse sullo stesso metro di misura. Un 75 in un test di matematica dove la media della classe è 70 con DS 10 dà z = 0,5. Un 68 in un test di francese dove la media è 65 con DS 5 dà z = 0,6. Il punteggio di francese è relativamente migliore, cosa che i punteggi grezzi non possono dirci.

Gli z-score compaiono nei test standardizzati (SAT, GMAT), nei range di riferimento clinici (densità ossea, curve di crescita), nel controllo qualità (indici di capacità del processo) e in qualsiasi contesto in cui sia necessario confrontare tra popolazioni con medie e dispersioni diverse.

Il nostro calcolatore di statistiche calcola media e deviazione standard; lo z-score è una sottrazione-poi-divisione su una riga sul risultato.

Dallo z-score al percentile e viceversa: per una distribuzione normale la funzione di distribuzione cumulativa (Φ) converte direttamente gli z-score in percentili. z = 0 → 50° percentile (la mediana), z = 1 → ~84°, z = 1,645 → 95°, z = 1,96 → 97,5° (il limite standard del 95% bidirezionale di confidenza), z = 2,576 → 99,5°. Questi valori limite sono la spina dorsale dei test di ipotesi — uno z-score di 1,96 è il valore sopra il quale un test bidirezionale rifiuta l’ipotesi nulla a α = 0,05. Per dati non normali lo z-score misura ancora “deviazioni dalla media in unità DS” ma il percentile corrispondente dipende dalla distribuzione effettiva e non è intercambiabile con le tavole normali.

Z-score robusti per dati disordinati: i valori anomali gonfiano la deviazione standard, il che deflaziona ogni z-score nel dataset e nasconde i valori anomali stessi che si stava cercando di individuare. Lo z-score modificato (Iglewicz & Hoaglin, 1993) usa la mediana e la deviazione assoluta dalla mediana (MAD) invece di media e DS: z_modificato = 0,6745 · (x − mediana) / MAD. La costante 0,6745 scala il MAD in modo che per dati normali, lo z-score modificato corrisponda a quello convenzionale. La convenzione è segnalare |z_modificato| > 3,5 come outlier — robusto contro la contaminazione in modo che lo z-score standard non è. Correlato: percentile, deviazione standard campionaria, deviazione standard spiegata.

Esempio pratico

Un bambino di due anni misura 89 cm di altezza. I dati del grafico di crescita OMS per bambine di due anni hanno media 86,4 cm, DS 3,3 cm. Z-score: z = (89 − 86,4) / 3,3 = 0,79. Cercando questo z nella tavola normale standard si ottiene un percentile di ~78 — più alta del 78% delle bambine di due anni, ben all’interno del range normale (i pediatri segnalano per valutazione intorno a z < −2 o z > 2, corrispondenti a circa <2,3° o >97,7° percentile). Il peso di 14 kg dello stesso bambino rispetto a media 12,3 kg, DS 1,4 kg: z = (14 − 12,3) / 1,4 = 1,21 → ~89° percentile. Tracciare altezza-z (0,79) rispetto a peso-z (1,21) mostra che il bambino è più pesante del previsto per la sua altezza — un segnale clinico più utile di entrambe le misurazioni grezze da sole.

Quando e perché è importante

Gli z-score permettono di confrontare mele con arance eliminando la scala. Guidano i grafici di crescita OMS e CDC, la normalizzazione del punteggio FICO e di altri crediti, il Cooper Test nella valutazione della forma fisica, gli indici di capacità del processo Six Sigma (un processo 6σ significa che il limite di specifica più vicino è a z = 6 — circa due difetti per miliardo) e quasi tutti i test di ipotesi in statistica (il t-test di Student, l’ANOVA, la significatività dei coefficienti di regressione si riducono tutti a un rapporto z dell’effetto sull’errore standard). L’insidia da conoscere: gli z-score assumono che la distribuzione sottostante sia almeno approssimativamente normale. Per dati fortemente asimmetrici (reddito, tempo di risposta, dimensione dei file) uno z di 3 non è il 99,87° percentile — sono necessari z-score robusti o metodi non parametrici. Riferimento: Standard di crescita infantile OMS.