Metodologia finanziaria

Cinque strumenti fanno parte del pilastro Finance di Convertitive oggi: mutuo, interesse composto, mancia, imposta sulle vendite e sconto. Tutti e cinque sono calcoli puramente matematici in forma chiusa — nessuna rettifica proprietaria, nessun involucro di marketing, nessuna richiesta a un servizio remoto di tassi.

Questa pagina illustra la formula alla base di ciascuno in modo che tu possa (a) riprodurre il risultato a mano e (b) citare il calcolo ovunque debba essere difendibile.

Mutuo — la formula standard del prestito ammortizzante

La rata mensile di un mutuo a tasso fisso è il valore unico che, applicato ogni mese per tutta la durata, porta il saldo del prestito a zero. La forma chiusa è:

M = P · r / (1 − (1 + r)^−n)

Dove P è il capitale del prestito (prezzo della casa meno il acconto), r è il tasso di interesse mensile (APR annuo ÷ 12, espresso come decimale) e n è il numero totale di rate mensili (anni × 12).

Derivazione

La formula è semplicemente l’equazione del valore attuale di una rendita risolta per la rata mensile. Il valore attuale di n rate uguali di M al tasso mensile r è M · (1 − (1 + r)^−n) / r. Impostando questo uguale al capitale P e risolvendo per M si ottiene la formula precedente.

Casi limite

• Tasso di interesse zero. La formula ha un limite 0/0 per r = 0. Lo gestiamo esplicitamente: con APR 0%, la rata mensile è semplicemente P / n.
• Mesi decimali. La formula utilizza nintero. Arrotondiamo anni × 12 all’intero più vicino prima di calcolare.

Cosa non è incluso

Imposte sulla proprietà, assicurazione del proprietario, quote HOA e PMI. Questi sono tutti componenti reali del pagamento mensile di un proprietario di casa (“PITI”), ma variano per giurisdizione, proprietà e creditore. Aggiungerli costringerebbe il calcolatore a fare 8 domande in più o a indovinare. Abbiamo scelto di restituire solo capitale + interessi affinché la matematica rimanga verificabile.

Interesse composto — valore futuro con contributi periodici

L’interesse composto è la formula classica del valore futuro con contributi. Con capitale P, tasso annuo R (percentuale), capitalizzazione k volte per anno per t anni, con contributo C alla fine di ogni periodo di capitalizzazione:

FV = P · (1 + r)^n + C · ((1 + r)^n − 1) / r

Dove r = R/100/k e n = k · t. Con r = 0 la formula degenera in FV = P + C · n; gestiamo quel caso esplicitamente.

Convenzione di timing dei contributi

Si presuppone che i contributi arrivino alla fine di ogni periodo (la convenzione della rendita ordinaria). I contributi a inizio periodo guadagnano un periodo di crescita in più; la differenza è piccola con capitalizzazione mensile ma diventa significativa con frequenze annuali su orizzonti lunghi. Se hai bisogno della matematica a inizio periodo, moltiplica il nostro risultato per (1 + r).

Mancia — addizione semplice

Il calcolatore della mancia gestisce tre numeri — conto, percentuale di mancia, percentuale opzionale di tassa — e un denominatore, la dimensione del gruppo. La formula è:

totale = conto · (1 + mancia%/100 + tassa%/100)
per_persona = totale / max(1, dimensione_gruppo)

L’etichetta di mancia statunitense prevede di applicare la percentuale di mancia al conto al lordo delle tasse, quindi impostiamo il campo tassa a zero per impostazione predefinita e lo lasciamo come input separato. Se nella tua giurisdizione la tassa fa parte dell’importo su cui calcolare la mancia, moltiplica mentalmente la mancia per (1 + tassa).

Imposta sulle vendite — e la trappola nel calcolarla a ritroso

Aggiungere l’imposta è aritmetica elementare. Calcolarla a ritroso mette in difficoltà le persone perché la percentuale si applica alla base al lordo delle imposte, non al totale. Dato il totale T e l’aliquota fiscale x (come decimale):

al_lordo_delle_imposte = T / (1 + x)

Errore comune: calcolare T − T·x. Questo utilizza la base sbagliata e sottostima l’importo al lordo delle imposte di T · x². Con un’imposta dell’8% si tratta di un errore dello 0,64% sulla cifra al lordo delle imposte — piccolo ma sufficiente a sbagliare una nota spese.

Sconti cumulati — moltiplicativi, non additivi

Gli sconti accumulati si applicano al prezzo corrente, non all’originale. Data una lista di sconti percentuali d₁, d₂, …, dₙ ciascuno in forma decimale, lo sconto combinato effettivo è:

d_eff = 1 − (1 − d₁)(1 − d₂)…(1 − dₙ)

Quindi il 20% di sconto seguito dal 10% di sconto è 1 − 0,80 · 0,90 = 0,28, uno sconto effettivo del 28% — non il 30% che suggerirebbe la somma ingenua. L’ordine non influisce sul risultato perché la moltiplicazione è commutativa.

Politica di precisione

Ogni calcolo Finance utilizza la doppia precisione IEEE 754 nativa di JavaScript. Questo fornisce circa 15-17 cifre significative, più che sufficiente per qualsiasi scenario realistico di finanza personale. L’output è arrotondato a due decimali per la visualizzazione perché il denaro è denominato in centesimi.

Non utilizziamo BigInt o librerie ad alta precisione arbitraria qui. Il cluster Crypto lo fa (vedi /methodology/crypto/ quando sarà disponibile) perché gli importi crypto possono superare 18 cifre, ma quelli finanziari non possono in nessun caso d’uso ragionevole.

Fonti di riferimento

• La formula del mutuo è la funzione PMT standard utilizzata da Microsoft Excel, LibreOffice Calc e ogni manuale universitario di banca al dettaglio. Non è proprietaria di alcuna istituzione; precede l’informatica elettronica in assoluto.
• L’interesse composto è la formula del valore attuale di una rendita trattata in qualsiasi testo introduttivo di finanza. La forma comprensiva dei contributi è talvolta chiamata formula del “fondo di ammortamento” nella letteratura più vecchia.
• Gli intervalli di mancia negli USA sono tratti da un sondaggio Pew Research 2024 e verificati con i dati del settore della National Restaurant Association. Il calcolatore non sceglie una percentuale per te; lo fai tu.
• La matematica dell’imposta sulle vendite è algebra elementare. Non esistono tabelle autorevoli per le aliquote per giurisdizione perché ce ne sono oltre 13.000 solo negli USA, con variazioni di aliquota a metà anno; lasciamo il tasso come input.