Metodologia matematica

Il cluster Matematica include oggi tre strumenti — percentuale, area e statistiche descrittive. La matematica è algebra elementare; il valore sta nelle convenzioni (quale formula per la varianza, quale interpolazione per il percentile, cosa fare quando gli input sono degeneri) e nel farle correttamente.

Percentuale — tre formule, uno strumento

Il calcolatore di percentuale copre le tre domande che rappresentano circa il 95% delle query sulle percentuali:

1. X% di Y— la forma “trova una porzione”.risultato = (X / 100) × Y.
2. X è che % di Y— la forma “rapporto come percentuale”. risultato = (X / Y) × 100. Restituisce null se Y è zero.
3. Variazione percentuale da X a Y — delta con segno. risultato = ((Y − X) / X) × 100. Restituisce null se X è zero (divisione per zero, non Infinity).

La terza è quella che crea più confusione. La variazione percentuale è con segno e usa il valore iniziale come base. La differenza percentuale (usata in alcuni contesti scientifici) usa la media dei due valori come base ed è senza segno. Il nostro strumento calcola la variazione percentuale.

Area — la formula di Erone per i triangoli

Il calcolatore di area copre otto forme. Sette sono algebra diretta:

• Rettangolo: A = l × h
• Quadrato: A = l²
• Cerchio: A = π · r²
• Triangolo (base × altezza): A = ½ · b · h
• Trapezio: A = ½ · (a + b) · h
• Ellisse: A = π · a · b
• Poligono regolare n-gono: A = (n · l²) / (4 · tan(π / n))

L’ottava è la forma triangolo-da-tre-lati, che usa la formula di Erone:

A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) · dove s = (a + b + c) / 2

La formula di Erone è uno dei risultati più antichi della geometria elementare — Erone di Alessandria la pubblicò nel I secolo d.C. Calcola l’area del triangolo da tre lunghezze dei lati senza bisogno di un’altezza. Se i tre lati violano la disuguaglianza triangolare (un lato ≥ somma degli altri due), la quantità sotto la radice quadrata è negativa e restituiamo 0 invece di NaN.

Derivazione della formula del poligono regolare

Dividi un n-gono regolare con lato l in ntriangoli isosceli, ciascuno con apice al centro. L’angolo all’apice di ciascuno è 2π / n radianti. La base di ogni triangolo è l; la sua altezza (l’apotema) è l / (2 · tan(π / n)). L’area del triangolo è quindil² / (4 · tan(π / n)) e l’area del poligono è n volte quella.

Statistiche — campione vs popolazione

Il calcolatore di statistiche restituisce media, mediana, moda, varianza, deviazione standard, range e quartili per qualsiasi dataset incollato dall’utente. Due decisioni sono importanti:

Varianza: campione (n−1) vs popolazione (n)

La formula testuale per la varianza della popolazione è:

σ² = Σ(x − μ)² / n

Per un campione estratto da una popolazione più grande, la media campionaria è più vicina ai dati rispetto alla vera media della popolazione — quindi la somma delle deviazioni al quadrato sottostima la vera varianza. La correzione di Besseldivide per n − 1 invece di n per rimuovere questa distorsione:

s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)

La nostra impostazione predefinita è la forma campionaria (con la correzione) perché la maggior parte degli utenti incolla campioni, non enumerazioni esaustive. Un interruttore nell’interfaccia passa alla forma della popolazione quando necessario. Per n grande la differenza è trascurabile; per n piccolo è significativa.

Percentile: interpolazione lineare NIST

Il percentile è ambiguo — esistono almeno nove algoritmi documentati (R li usa tutti con parametri `type` diversi). Utilizziamo il più semplice difendibile: interpolazione lineare tra le due classifiche più vicine. Il 50° percentile è uguale alla mediana; lo 0° è uguale al minimo; il 100° è uguale al massimo. Il 25° percentile di [1, 2, …, 10] è 3,25, a un quarto della strada tra la classifica 3 (valore 3) e la classifica 4 (valore 4).

Questo è il default di NIST, il default di NumPy (modalità `linear`) e il tipo 7 di default di R. È continuo — piccole variazioni nei dati producono piccoli cambiamenti nei percentili — il che è quello che si vuole per visualizzazioni e dashboard.

Gestione della moda

La moda è il valore (o i valori) con la frequenza più alta. Restituiamo tuttii valori con la frequenza più alta, ordinati, quindi un dataset bimodale come [1, 1, 2, 2, 3] restituisce la moda [1, 2] invece di sceglierne uno arbitrariamente. Se ogni valore nel dataset appare esattamente una volta, non esiste la moda per definizione e restituiamo un array vuoto (visualizzato come “—”).

Precisione e casi limite

• Input vuoto.Tutte le statistiche di riepilogo restituiscono NaN; la moda restituisce l’array vuoto. L’interfaccia mostra “—” per qualsiasi valore NaN.
• Varianza campionaria con un solo valore. Il divisore n−1 produce una divisione per zero. Restituiamo NaN invece di Infinity.
• Token non numerici nel parser.Rimossi silenziosamente. Incollare “1, 2, banana, 3” produce un dataset di tre valori.