Z-score

Z-score (ou pontuação padronizada) mede quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. Fórmula: z = (x − média) ÷ desvio_padrão.

Um valor com z = 0 é a média. z = 1 é um desvio padrão acima da média. z = −2 é dois desvios padrão abaixo. Para uma distribuição aproximadamente normal, |z| > 2 abrange cerca de 5% dos valores; |z| > 3 abrange cerca de 0,3%.

O objetivo de converter para z-scores: coloca diferentes escalas no mesmo padrão de medida. Um 75 em uma prova de matemática onde a média da turma é 70 com DP 10 dá z = 0,5. Um 68 em uma prova de francês onde a média é 65 com DP 5 dá z = 0,6. A nota de francês é relativamente melhor, o que as pontuações brutas não conseguem dizer.

Z-scores aparecem em testes padronizados (SAT, GMAT), faixas de referência clínica (densidade óssea, curvas de crescimento), controle de qualidade (índices de capacidade de processo) e qualquer contexto onde você precisa comparar populações com diferentes médias e dispersões.

Nossa calculadora de estatísticas calcula média e desvio padrão; o z-score é uma subtração seguida de divisão em uma linha no resultado.

De z-score para percentil, e vice-versa: para uma distribuição normal, a função de distribuição acumulada (Φ) converte z-scores diretamente em percentis. z = 0 → 50° percentil (a mediana), z = 1 → ~84°, z = 1,645 → 95°, z = 1,96 → 97,5° (o limite padrão de confiança de 95% bilateral), z = 2,576 → 99,5°. Esses cortes são a espinha dorsal dos testes de hipótese — um z-score de 1,96 é o valor acima do qual um teste bilateral rejeita a hipótese nula com α = 0,05. Para dados não normais, o z-score ainda mede “desvios da média em unidades de DP”, mas o percentil correspondente depende da distribuição real e não é intercambiável com as tabelas normais.

Z-scores robustos para dados bagunçados: outliers inflam o desvio padrão, o que deflaciona cada z-score no conjunto de dados e esconde os próprios outliers que você estava tentando identificar. O z-score modificado (Iglewicz & Hoaglin, 1993) usa a mediana e o desvio absoluto mediano (MAD) em vez de média e DP: z_modificado = 0,6745 · (x − mediana) / MAD. A constante 0,6745 dimensiona o MAD de modo que para dados normais, o z-score modificado corresponda ao convencional. A convenção é sinalizar |z_modificado| > 3,5 como outlier — robusto contra contaminação de uma forma que o z-score padrão não é. Relacionado: percentil, desvio padrão amostral, desvio padrão explicado.

Exemplo prático

Uma criança de dois anos mede 89 cm de altura. Os dados do gráfico de crescimento da OMS para meninas de dois anos têm média 86,4 cm, DP 3,3 cm. Z-score: z = (89 − 86,4) / 3,3 = 0,79. Consultando esse z na tabela normal padrão, obtém-se um percentil de ~78 — mais alta que 78% das crianças de dois anos, dentro da faixa normal (os pediatras sinalizam para avaliação em torno de z < −2 ou z > 2, correspondendo a aproximadamente <2,3° ou >97,7° percentil). O peso de 14 kg da mesma criança em relação à média de 12,3 kg, DP 1,4 kg: z = (14 − 12,3) / 1,4 = 1,21 → ~89° percentil. Traçar a altura-z (0,79) em relação ao peso-z (1,21) mostra que a criança está mais pesada do que o esperado para sua altura — um sinal clínico mais útil do que qualquer medição bruta isolada.

Quando e por que isso importa

Z-scores permitem comparar maçãs com laranjas removendo a escala. Eles impulsionam os gráficos de crescimento da OMS e do CDC, a normalização do FICO e outras pontuações de crédito, o Teste de Cooper na avaliação física, os índices de capacidade de processo do Six Sigma (um processo 6σ significa que o limite de especificação mais próximo está em z = 6 — cerca de dois defeitos por bilhão) e quase todo teste de hipótese em estatística (o teste t de Student, ANOVA e a significância do coeficiente de regressão reduzem-se a uma razão semelhante ao z de efeito para erro padrão). A armadilha a conhecer: os z-scores assumem que a distribuição subjacente é pelo menos aproximadamente normal. Para dados fortemente assimétricos (renda, tempo de resposta, tamanho de arquivo), um z de 3 não é o 99,87° percentil — z-scores robustos ou métodos não paramétricos são necessários. Referência: Padrões de Crescimento Infantil da OMS.