Metodologia de finanças

Cinco ferramentas estão no pilar de Finanças do Convertitive hoje: hipoteca, juros compostos, gorjeta, imposto sobre vendas e desconto. As cinco são cálculos puramente matemáticos de forma fechada — sem ajustes proprietários, sem embalagem de marketing, sem busca a um serviço de taxa remoto.

Esta página percorre a fórmula por trás de cada uma para que você possa (a) reproduzir o resultado manualmente, e (b) citar o cálculo em qualquer lugar onde ele precise ser defensável.

Hipoteca — a fórmula padrão de empréstimo amortizante

A prestação mensal de uma hipoteca de taxa fixa é o valor único que, quando aplicado a cada mês pelo prazo total, leva o saldo do empréstimo a zero. A forma fechada é:

M = P · r / (1 − (1 + r)^−n)

Onde P é o principal do empréstimo (preço da casa menos entrada), r é a taxa de juros mensal (APR anual ÷ 12, expressa como decimal) e n é o número total de pagamentos mensais (anos × 12).

Derivação

A fórmula é apenas a equação do valor presente de uma anuidade resolvida para a prestação mensal. O valor presente de n pagamentos iguais de M à taxa mensal r é M · (1 − (1 + r)^−n) / r. Igualando isso ao principal P e resolvendo para M obtém-se a fórmula acima.

Casos extremos

• Taxa de juros zero. A fórmula tem um limite 0/0 em r = 0. Tratamos isso explicitamente: com 0% APR, a prestação mensal é simplesmente P / n.
• Meses decimais. A fórmula usa n inteiro. Arredondamos anos × 12 para o inteiro mais próximo antes de avaliar.

O que não está incluído

Imposto sobre propriedade, seguro do proprietário, taxas do HOA e PMI. Todos esses são componentes reais do desembolso mensal de um proprietário (o “PITI”), mas variam por jurisdição, propriedade e credor. Adicioná-los forçaria a calculadora a fazer 8 perguntas adicionais ou adivinhar. Optamos por retornar apenas principal + juros para que a matemática permaneça auditável.

Juros compostos — valor futuro com contribuições periódicas

Os juros compostos são a fórmula clássica de valor futuro com contribuições. Com o principal P, taxa anual R (porcentagem), capitalização k vezes por ano por t anos, com contribuição C no final de cada período de capitalização:

FV = P · (1 + r)^n + C · ((1 + r)^n − 1) / r

Onde r = R/100/k e n = k · t. Em r = 0, a fórmula degenera para FV = P + C · n; tratamos esse caso explicitamente.

Convenção de tempo das contribuições

As contribuições são assumidas como chegando no final de cada período (a convenção de anuidade ordinária). Contribuições no início do período rendem um período extra de crescimento; a diferença é pequena com capitalização mensal, mas se torna significativa com frequências anuais ao longo de horizontes longos. Se você precisar da matemática do início do período, multiplique nosso resultado por (1 + r).

Gorjeta — adição direta

A calculadora de gorjeta lida com três números — conta, porcentagem de gorjeta, porcentagem de imposto opcional — e um denominador, tamanho do grupo. A fórmula é:

total = conta · (1 + gorjeta%/100 + imposto%/100)
por_pessoa = total / max(1, tamanho_do_grupo)

A etiqueta de gorjeta nos EUA é aplicar a porcentagem de gorjeta ao valor antes do imposto, portanto deixamos o campo de imposto com padrão zero como entrada separada. Se sua jurisdição tratar o imposto como parte do valor com gorjeta, multiplique a gorjeta por (1 + imposto) mentalmente.

Imposto sobre vendas — e a armadilha de revertê-lo

Adicionar imposto é aritmética básica. Revertê-lo confunde as pessoas porque o percentual é aplicado à base antes do imposto, não ao total. Dado o total T e a alíquota de imposto x (como decimal):

antes_do_imposto = T / (1 + x)

Erro comum: calcular T − T·x. Isso usa a base errada e subestima o valor antes do imposto em T · x². Com 8% de imposto, isso é um erro de 0,64% no valor antes do imposto — pequeno, mas suficiente para estar errado em um relatório de despesas.

Empilhamento de descontos — multiplicativo, não aditivo

Descontos empilhados aplicam-se ao preço em execução, não ao original. Dada uma lista de descontos percentuais d₁, d₂, …, dₙ cada um na forma decimal, o desconto combinado efetivo é:

d_ef = 1 − (1 − d₁)(1 − d₂)…(1 − dₙ)

Portanto, 20% de desconto seguido de 10% de desconto é 1 − 0,80 · 0,90 = 0,28, um desconto efetivo de 28% — não os 30% que a adição ingênua sugeriria. A ordem não afeta o resultado porque a multiplicação é comutativa.

Política de precisão

Todo cálculo de Finanças usa a precisão dupla IEEE 754 nativa do JavaScript. Isso oferece aproximadamente 15-17 dígitos significativos, mais do que suficiente para qualquer cenário de finanças pessoais realista. A saída é arredondada para duas casas decimais para exibição porque o dinheiro é denominado em centavos.

Não usamos BigInt ou bibliotecas de precisão arbitrária aqui. O cluster de Cripto usa (veja /methodology/crypto/ quando for lançado) porque valores de cripto podem exceder 18 dígitos, mas os valores de Finanças não podem em nenhum caso de uso razoável.

Fontes consultadas

• A fórmula de hipoteca é a função PMT padrão usada pelo Microsoft Excel, LibreOffice Calc e todos os livros didáticos de banco de varejo. Não é propriedade de nenhuma instituição; ela antecede a computação eletrônica completamente.
• Os juros compostos são a fórmula do valor presente de uma anuidade abordada em qualquer texto de finanças do primeiro ano. A forma inclusiva de contribuição às vezes é chamada de fórmula de “fundo de amortização” na literatura mais antiga.
• As faixas de gorjeta nos EUA são extraídas de uma pesquisa da Pew Research de 2024 e verificadas com dados do setor da National Restaurant Association. A calculadora não escolhe um percentual para você; você escolhe.
• A matemática do imposto sobre vendas é álgebra básica. Não há tabelas autoritativas para alíquotas de imposto por jurisdição porque há mais de 13.000 delas apenas nos EUA, além de mudanças de alíquota durante o ano; deixamos a alíquota como entrada.