Metodologia de matemática

O cluster de Matemática disponibiliza três ferramentas hoje — porcentagem, área e estatísticas descritivas. A matemática é álgebra básica; o valor está nas convenções (qual fórmula para variância, qual interpolação para percentil, o que fazer quando as entradas são degeneradas) e em acertar isso.

Porcentagem — três fórmulas, uma ferramenta

A calculadora de porcentagem cobre as três perguntas que representam ~95% das consultas sobre porcentagem:

1. X% de Y— a forma “encontrar uma parte”.resultado = (X / 100) × Y.
2. X é que % de Y— a forma “razão como porcentagem”. resultado = (X / Y) × 100. Retorna nulo se Y for zero.
3. Variação percentual de X para Y — delta com sinal. resultado = ((Y − X) / X) × 100. Retorna nulo se X for zero (divisão por zero, não Infinito).

A terceira é onde ocorre mais confusão. A variação percentual é com sinal e usa o valor inicial como base. A diferença percentual (usada em alguns contextos científicos) usa a média dos dois valores como base e não tem sinal. Nossa ferramenta calcula a variação percentual.

Área — fórmula de Heron para triângulos

A calculadora de área cobre oito formas. Sete são álgebra direta:

• Retângulo: A = l × a
• Quadrado: A = l²
• Círculo: A = π · r²
• Triângulo (base × altura): A = ½ · b · h
• Trapézio: A = ½ · (a + b) · h
• Elipse: A = π · a · b
• Polígono regular de n lados: A = (n · l²) / (4 · tan(π / n))

A oitava é a forma de triângulo a partir de três lados, que usa a fórmula de Heron:

A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) · onde s = (a + b + c) / 2

A fórmula de Heron é um dos resultados mais antigos da geometria elementar — Herão de Alexandria a publicou no século I d.C. Calcula a área do triângulo a partir de três comprimentos de lados, sem necessidade de uma altura. Se os três lados violarem a desigualdade triangular (qualquer lado ≥ soma dos outros dois), a quantidade sob a raiz quadrada é negativa e retornamos 0 em vez de NaN.

Derivação da fórmula de polígono regular

Divida um polígono regular de n lados com comprimento de lado l em n triângulos isósceles, cada um com vértice no centro. O ângulo de vértice de cada um é 2π / n radianos. A base de cada triângulo é l; sua altura (o apótema) é l / (2 · tan(π / n)). A área do triângulo é, portanto, l² / (4 · tan(π / n)), e a área do polígono é n vezes isso.

Estatísticas — amostra vs. população

A calculadora de estatísticas retorna média, mediana, moda, variância, desvio padrão, amplitude e quartis para qualquer conjunto de dados colado pelo usuário. Duas decisões importam:

Variância: amostra (n−1) vs. população (n)

A fórmula clássica para variância populacional é:

σ² = Σ(x − μ)² / n

Para uma amostra extraída de uma população maior, a média amostral está mais próxima dos dados do que a média populacional verdadeira estaria — portanto, a soma dos desvios ao quadrado subestima a variância verdadeira. A correção de Bessel divide por n − 1 em vez de n para remover esse viés:

s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)

Nosso padrão é a forma amostral (com a correção) porque a maioria dos usuários cola amostras, não enumerações exaustivas. Um botão na interface alterna para a forma populacional quando necessário. Para n grande, a diferença é negligenciável; para n pequeno, ela importa de forma significativa.

Percentil: interpolação linear NIST

O percentil é ambíguo — há pelo menos nove algoritmos documentados (R usa todos eles sob parâmetros `type` diferentes). Usamos o mais simples e defensável: interpolação linear entre os dois postos mais próximos. O 50º percentil é igual à mediana; o 0º é igual ao mínimo; o 100º é igual ao máximo. O 25º percentil de [1, 2, …, 10] é 3,25, situado a um quarto do caminho entre o posto 3 (valor 3) e o posto 4 (valor 4).

Este é o padrão do NIST, o padrão do NumPy (modo `linear`) e o padrão tipo 7 do R. É contínuo — pequenas mudanças nos dados produzem pequenas mudanças nos percentis — que é o que você quer para visualizações e painéis.

Tratamento da moda

A moda é o valor (ou valores) com maior frequência. Retornamos todosos valores empatados com maior frequência, ordenados, portanto um conjunto bimodal como [1, 1, 2, 2, 3] retorna moda [1, 2] em vez de escolher um arbitrariamente. Se cada valor no conjunto de dados aparecer exatamente uma vez, não há moda por definição e retornamos um array vazio (exibido como “—”).

Precisão e casos extremos

• Entrada vazia.Todas as estatísticas resumidas retornam NaN; a moda retorna o array vazio. A interface mostra “—” para qualquer valor NaN.
• Variância amostral com valor único. O divisor n−1 produz divisão por zero. Retornamos NaN em vez de Infinito.
• Tokens não numéricos no parser.Removidos silenciosamente. Colar “1, 2, banana, 3” produz um conjunto de dados de três valores.