Bessel düzeltmesi

Bessel’in düzeltmesi, örneklem varyansı ve örneklem standart sapması hesaplanırken N yerine N−1'e bölme geleneğidir. Düzeltme, merkezleme noktası olarak gerçek (bilinmeyen) popülasyon ortalaması yerine örneklem ortalamasının (veriye gerçek popülasyon ortalamasından daha yakın olan) kullanılmasından kaynaklanan popülasyon varyansının sistematik küçümsenmesini telafi eder.

19. yüzyılın Alman astronomu ve matematikçisi Friedrich Bessel'in adıyla anılır. Matematiksel kanıt: E[Σ(x − x̄)²] = (N−1)σ²; burada σ² gerçek popülasyon varyansı, beklenti ise N boyutundaki tüm olası örneklemler üzerinde çalışır. Gözlemlenen toplamın N−1'e bölünmesi, σ²'nin önyargısız tahmincisini üretir.

Büyük N değerlerinde düzeltme ihmal edilebilir düzeydedir (1/N ile 1/(N−1) N=100'ün ötesinde %1'den az farklıdır). Küçük N'lerde anlamlı biçimde önem kazanır — N=5'te düzeltilmiş varyans, düzeltilmemiş sürümden %25 büyüktür. İstatistik hesaplayıcımız, yapıştırdığınız veri kümesi neredeyse her zaman tam bir popülasyon değil, bir örneklem olduğundan Bessel düzeltmeli biçimi varsayılan olarak kullanır.

Bessel’in düzeltmesini ne zaman uygulamamalısınız: gerçekten tüm popülasyona sahip olduğunuzda, örneklem değil. Bir sınıftaki her öğrencinin sınav notlarının varyansını hesaplıyor ve yalnızca o sınıfla ilgileniyorsanız, N'ye bölün. Daha geniş öğrenci kitlesindeki varyansı tahmin etmek için o sınıfı kullanıyorsanız, N−1'e bölün. İstatistik paketleri varsayılanlarda farklılık gösterir: NumPy'nin np.var() N kullanır; pandas'ın .var() ve R'nin var() N−1 kullanır. Bir rakam aktarmadan önce belgeleri okuyun.

Bessel’in düzeltmesi varyansın sapmasını giderir; ancak türetilen örneklem standart sapması (karekök) hâlâ hafifçe sapmaktadır — karekök doğrusal olmayan bir işlevdir ve Jensen eşitsizliği devreye girer. Çoğu pratik amaç için bu artık sapma göz ardı edilir; önem taşıyan küçük örneklem çalışmalarında bir c4 düzeltme faktörü kullanılır.

Neden önemlidir: çalışılmış örnek

Beş sınav notu örneği düşünün: 72, 78, 80, 84, 86. Ortalama 80'dir. Ortalamadan karesel sapmaların toplamı: (72−80)² + (78−80)² + (80−80)² + (84−80)² + (86−80)² = 64 + 4 + 0 + 16 + 36 = 120. Bessel düzeltmesi olmadan varyans 120 ÷ 5 = 24'tür; Bessel düzeltmesiyle 120 ÷ (5−1) = 30'dur — %25 daha büyük bir tahmin. Karşılık gelen standart sapmalar √24 ≈ 4,90 ve √30 ≈ 5,48'dir. Bunu daha geniş öğrenci popülasyonundan çekilen bir örneklem olarak değerlendirirseniz, 5,48 önyargısız popülasyon yayılımı tahminidir; 4,90 ise sistematik olarak küçümsemektedir. N=30'da fark %3,4'e; N=100'de %1'e; N=1.000'de %0,1'e düşer. Düzeltme, gerçekten küçük örneklemler için karmaşıklığını haklı kılar.

Neden önemlidir: güven aralıkları ve t-testleri

Popülasyon standart sapmasının eklenti tahmini olarak örneklem standart sapmasını kullanan her prosedür, Bessel düzeltmesinin uygulanmış olmasına bağlıdır. Bir ortalama etrafındaki güven aralıkları, iki örneklemli t-testleri, ANOVA F istatistikleri ve regresyon standart hataların hepsi önyargısız N−1 paydasını varsayar. Düzeltmeyi atlamak, gerçeğin haklı kıldığından daha dar güven aralıkları üretir ve Tip I hata oranlarını şişirir — küçük örneklemli deneysel çalışmalarda sessiz ama gerçek bir tekrarlanamaz bulgu kaynağı. Referans: NIST/SEMATECH İstatistiksel Yöntemler e-El Kitabı §1.3.5.6 — Standart Sapma.