Umgekehrte Prozentrechnung: Ursprungspreis

Ein Sale-Schild sagt „15 % Rabatt“, Sie zahlen an der Kasse 63,75 $, und Sie möchten wissen, was der Artikel vor dem Rabatt gekostet hat. Das ist ein Problem der umgekehrten Prozentrechnung — Sie haben das Ergebnis und den Satz und müssen die Ausgangszahl finden. Es bringt Menschen durcheinander, weil der Instinkt ist, den Prozentsatz erneut vorwärts anzuwenden, was die falsche Antwort liefert. Dieser Ratgeber behandelt die korrekte Formel, warum der naheliegende Trick scheitert, und wie dieselbe Logik auf Steuer, Trinkgeld und Gehaltserhöhungen zutrifft.

Die Formel

Ein Rabatt nimmt einen Prozentsatz vom Ursprungspreis weg, also:

Verkaufspreis = Ursprung × (1 − r)

wobei r der Rabatt als Dezimalzahl ist. Lösen Sie nach dem Ursprung auf, indem Sie teilen statt multiplizieren:

Ursprung = Verkaufspreis ÷ (1 − r)

Bei 15 % Rabatt ist r = 0,15, Sie teilen also durch 0,85. Ein Verkaufspreis von 63,75 $ ergibt 63,75 ÷ 0,85 = 75 — der Ursprungspreis war 75 $. Zur Kontrolle: 15 % von 75 $ sind 11,25 $, und 75 $ − 11,25 $ = 63,75 $. Es stimmt.

Warum der Trick, den Prozentsatz zurückzuaddieren, scheitert

Der Fehler besteht darin, den Verkaufspreis als Basis für die Rückaddition zu behandeln. Nehmen Sie 15 % von 63,75 $ (dem Verkaufspreis) und addieren sie, erhalten Sie 63,75 $ + 9,56 $ = 73,31 $ — 1,69 $ daneben gegenüber den korrekten 75 $. Der Grund: 15 % wurden vom Ursprungspreis abgezogen, einer größeren Zahl, also sind 15 % des Ursprungspreises ein größerer Geldbetrag als 15 % des kleineren Verkaufspreises. Prozentsätze beziehen sich immer auf ihre Basis, und hier ist die Basis die Zahl, die Sie zu finden versuchen, nicht die Zahl, die Sie bereits haben. Dieselbe Basis-Verwechslung taucht bei Prozentpunkt vs. Prozent-Unterschieden auf — die Richtung der Berechnung ändert, welche Zahl der Nenner ist.

Dieselbe Logik umgekehrt bei Erhöhungen

Die allgemeine Form funktioniert auch für Erhöhungen, nur mit Addition statt Subtraktion:

Ursprung = Endwert ÷ (1 + r)

Eine gängige Alltagsversion: Eine Quittungssumme von 107 $ enthält 7 % Mehrwertsteuer. Der Preis vor Steuer ist 107 ÷ 1,07 = 100 $, nicht 107 − (107 × 0,07) (was 99,51 $ ergibt, aus demselben Grund die falsche Zahl wie oben). Eine Gehaltserhöhung funktioniert genauso: Beträgt Ihr neues Gehalt 54.000 $ nach 8 % Erhöhung, war Ihr altes Gehalt 54.000 ÷ 1,08 = 50.000 $, nicht 54.000 minus 8 % von 54.000.

Verkettete und wiederholte Rabatte

Der Handel stapelt manchmal zwei Prozentsätze — sagen wir 20 % Rabatt, dann zusätzlich 10 % Rabatt an der Kasse. Diese addieren sich nicht zu 30 %; jeder Prozentsatz gilt für den bereits reduzierten Preis:

Endwert = Ursprung × (1 − 0,20) × (1 − 0,10) = Ursprung × 0,72

Ein gestapelter Rabatt von 20 % und 10 % entspricht einem einzelnen Rabatt von 28 %, nicht 30 %, weil der zweite Prozentsatz auf einer kleineren Basis nach dem ersten Abzug berechnet wird. Um einen verketteten Rabatt umzukehren, teilen Sie nacheinander durch jeden Faktor: Ursprung = Endwert ÷ 0,90 ÷ 0,80. Die Reihenfolge spielt für die Division keine Rolle, da Multiplikation kommutativ ist, aber einen Schritt zu überspringen und durch 0,70 statt 0,72 zu teilen überschätzt den Ursprungspreis.

Schnellreferenz nach Szenario

Kehren Sie einen Prozentsatz um, fragen Sie sich, in welche Richtung der ursprüngliche Prozentsatz die Zahl bewegt hat, und wenden Sie die entgegengesetzte Operation auf dieselbe Basis an:

• Abgezogener Rabatt → teilen Sie das Ergebnis durch (1 − Satz), um den Ursprung zu erhalten.
• Hinzugefügte Steuer oder Aufschlag → teilen Sie das Ergebnis durch (1 + Satz), um den Preis vor Steuer oder Aufschlag zu erhalten.
• Mehrere aufeinanderfolgende Prozentsätze → teilen Sie getrennt durch jeden Faktor, in beliebiger Reihenfolge.

Der Prozentrechner dieser Seite übernimmt die Vorwärtsrichtung — Prozentsatz einer Zahl, eine Zahl als Prozentsatz einer anderen, und vorzeichenbehaftete prozentuale Änderung — mit angezeigter Formel für jedes Ergebnis, sodass Sie eine Umkehrrechnung prüfen können, indem Sie die Vorwärtsversion durchführen und bestätigen, dass sie wieder auf Ihrer bekannten Zahl landet.