Moyenne géométrique

La moyenne géométrique est la racine n-ième du produit de n valeurs : MG = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n). Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique est l’outil approprié pour calculer la moyenne de ratios, de pourcentages et de taux de croissance composés.

Pourquoi c’est important : imaginez un investissement qui rapporte +50 % la première année et −50 % la deuxième. La moyenne arithmétique de [1,5 ; 0,5] est 1,0 — ce qui suggère que l’investissement est équilibré. Mais 100 € investis deviennent 150 € après la première année et 75 € après la deuxième — une perte de 25 %. La moyenne géométrique de [1,5 ; 0,5] est √(1,5 × 0,5) = √0,75 ≈ 0,866, indiquant correctement une perte annualisée de 13,4 %.

Cas d’utilisation standards :

• Taux de croissance annuel composé (TCAC). La moyenne géométrique des ratios annuels.
• Indices boursiers. Les indices pondérés par des ratios utilisent les moyennes géométriques pour éviter la distorsion arithmétique.
• Comparaisons de ratios de ratios. Lorsque les entrées sont multiplicatives plutôt qu’additives (gains composés, dosage).

La moyenne géométrique est toujours ≤ à la moyenne arithmétique. L’égalité n’est vérifiée que lorsque toutes les valeurs sont identiques. Pour des valeurs très variables, l’écart peut être important — ce qui explique précisément pourquoi utiliser la bonne est si important.

Exemple concret

Vous investissez 10 000 € dans un fonds. Rendements : année 1 +30 %, année 2 −20 %, année 3 +25 %, année 4 −10 %, année 5 +15 %. Moyenne arithmétique de [30, −20, 25, −10, 15] = 8 % — ce que la brochure commerciale afficherait. Maintenant calculez la somme réelle : 10 000 × 1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15 = 10 000 × 1,3455 = 13 455 €. Gain total de 34,55 % sur cinq ans. La moyenne géométrique : (1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15)^(1/5) = 1,3455^0,2 ≈ 1,0612 — un rendement annualisé de 6,12 %. C’est le “TCAC” que la SEC exige que les fonds communs de placement américains déclarent au lieu de la moyenne arithmétique, car déclarer 8 % impliquerait 1,08⁵ × 10 000 = 14 693 € — surestimant la performance réelle de 9 %. L’écart s’accroît avec la volatilité des rendements : deux actifs avec la même moyenne arithmétique peuvent avoir des TCAC très différents si l’un est plus volatil.

Un autre cas illustratif : un backtest de stratégie de trading algorithmique affiche des rendements de [+40 %, +30 %, −50 %, +20 %, +10 %] sur cinq ans. Moyenne arithmétique : 10 % par an. Moyenne géométrique : (1,40 × 1,30 × 0,50 × 1,20 × 1,10)^(1/5) ≈ 1,2012^0,2 ≈ 1,037 — seulement 3,7 % annualisé. L’année à −50 % domine tout ; un seul krach important écrase le rendement à long terme quels que soient les gains ultérieurs. C’est pourquoi les divulgations des hedge funds soulignent le “drawdown maximum” en plus des rendements annualisés.

Quand et pourquoi cela compte

La moyenne géométrique est importante dans tout contexte où les chiffres se composent : rendements d’investissement, taux de croissance biologique, diffusion virale (R₀) et dépréciation. L’erreur de la moyenne arithmétique est la plus grande lorsque les valeurs individuelles varient considérablement — des rendements symétriques ±50 % produisent une perte nette parce que les gains et les pertes se composent asymétriquement (une perte de 50 % nécessite un gain de 100 % pour récupérer). La même leçon s’applique aux pourcentages de perte de poids, aux comptes de colonies bactériennes et à tout “taux de variation moyen” rapporté sur plusieurs périodes. L’erreur inverse — utiliser la moyenne géométrique pour des grandeurs additives comme les températures quotidiennes ou les notes — produit des chiffres sans signification. La règle : si les valeurs se multiplient pour produire le résultat final, utilisez la moyenne géométrique ; si elles s’additionnent, utilisez la moyenne arithmétique. Pour les scénarios mixtes (ratios de Sharpe, moyennes pondérées), des formules spécialisées existent. Référence : Investopedia — Taux de croissance annuel composé.

L’astuce de stabilité numérique — travailler en espace logarithmique : calculer le produit de nombreuses valeurs directement provoque rapidement un dépassement ou une sous-précision des doubles IEEE 754 (10 valeurs de 0,1 produisent 10⁻¹⁰, correct ; 50 valeurs produisent 10⁻⁵⁰, correct ; 500 valeurs produisent 0,0, certainement incorrect). La solution standard est de calculer exp(mean(log(x))) à la place. Les logarithmes transforment le produit en somme, la somme reste dans la plage représentable, et le exp final récupère la moyenne géométrique. Chaque bibliothèque statistique (NumPy, SciPy, R) implémente la moyenne géométrique de cette façon en interne ; créer la sienne naïvement est l’une des façons les plus courantes de produire silencieusement des zéros pour de grands échantillons.

Pourquoi la moyenne géométrique fonctionne pour les ratios — l’intuition : les ratios vivent sur une échelle logarithmique, pas linéaire. “Doublé” (×2) et “divisé par deux” (×0,5) sont des changements multiplicatifs symétriques — leur moyenne devrait être “aucun changement” (×1), pas “1,25×” comme le suggérerait la moyenne arithmétique. La moyenne géométrique respecte cette symétrie car elle calcule la moyenne logarithmique des ratios. C’est pourquoi la finance, la biologie (taux de croissance cellulaire) et la physique (désintégration radioactive) se tournent toutes par défaut vers les moyennes géométriques pour les ratios de séries temporelles. Connexes : moyenne harmonique, moyenne arithmétique, intérêts composés. Référence : NIST/SEMATECH e-Handbook — Moyenne géométrique.