Moyenne pondérée

Une moyenne pondérée est une moyenne arithmétique où chaque valeur est multipliée par une pondération avant la sommation, et la somme est divisée par la pondération totale plutôt que par le nombre. Formule :

moyenne_pondérée = Σ(wᵢ × xᵢ) / Σ(wᵢ)

Si toutes les pondérations sont égales, la moyenne pondérée se réduit à la moyenne ordinaire. Si une valeur a une pondération nulle, elle n’affecte pas le résultat.

Où apparaissent les moyennes pondérées :

• GPA (note moyenne américaine). Notes de cours pondérées par heures de crédit. Un A à 4 crédits compte plus qu’un A à 1 crédit.
• Taux d’intérêt mixtes. Un emprunteur avec 200 k€ à 6 % et 50 k€ à 4 % a un taux pondéré de (200×6 + 50×4) ÷ 250 = 5,6 %.
• Sondages et enquêtes. Les groupes démographiques sont pondérés pour correspondre à la population, de sorte qu’un groupe sous-représenté compte davantage par répondant.
• Fonds indiciels. Les indices pondérés par capitalisation boursière (S&P 500) pondèrent les composants par leur capitalisation. Les variantes à pondération égale attribuent une pondération égale sans tenir compte de celle-ci.
• Moyennes mobiles dans les séries temporelles. Les moyennes mobiles à pondération exponentielle pondèrent les données récentes plus fortement que les anciennes.

Erreurs courantes : utiliser des effectifs là où des pondérations sont nécessaires (moyenner des pourcentages sans pondérer par taille d’échantillon produit des résultats du “paradoxe de Simpson”), ou pondérer selon la mauvaise dimension. Quand la question est “quelle est la X moyenne sur la population”, les bonnes pondérations sont les fréquences de population, pas les effectifs bruts d’observations.

Le paradoxe de Simpson — le mode d’échec canonique : le cas des admissions universitaires de Berkeley en 1973 est l’exemple du manuel. L’université semblait admettre les hommes à un taux bien supérieur aux femmes (44 % contre 35 %) lors de l’agrégation par département — discrimination apparente. Mais au sein de chaque département, les femmes étaient admises à des taux légèrement supérieurs aux hommes. L’inversion est survenue parce que les femmes postulaient de façon disproportionnée dans des départements très compétitifs avec de faibles taux d’admission globaux. L’agrégat non pondéré a inversé le pattern intra-groupe. La correction consiste à calculer les moyennes pondérées avec le bon dénominateur — taux d’admission pondéré par pool de candidats par département — ce qui supprime la discrimination apparente. Le même piège apparaît dans les analyses de sous-groupes d’essais cliniques, les rapports de segments A/B, et les agrégations de classements universitaires. Référence : NIST/SEMATECH e-Handbook — Weighted means.

Exemple concret : GPA avec heures de crédit

Un semestre avec quatre cours : A (4,0) dans un cours de calcul à 4 crédits, B (3,0) dans un cours de physique à 4 crédits, A− (3,7) dans un cours de littérature à 3 crédits, et A (4,0) dans un TP à 1 crédit. Moyenne non pondérée des notes : (4,0 + 3,0 + 3,7 + 4,0) / 4 = 3,675. Pondérée par crédits : (4,0×4 + 3,0×4 + 3,7×3 + 4,0×1) / (4+4+3+1) = (16 + 12 + 11,1 + 4) / 12 = 43,1 / 12 ≈ 3,59. La note parfaite du TP fait à peine bouger la moyenne ; le B à 4 crédits la tire significativement vers le bas. Rapporter 3,67 à un comité de troisième cycle quand votre relevé de notes calcule 3,59 est la différence entre “qualifié” et “signalé pour examen”.

Quand pondérer par quelque chose de non évident

Pour les rendements de portefeuille, la pondération correcte est l’exposition en dollars (ou la duration pour les revenus fixes), pas le nombre de positions. Pour les métriques de session web, pondérez par sessions ou utilisateurs plutôt que de traiter chaque enregistrement de chargement de page comme égal — les utilisateurs intensifs influencent de façon disproportionnée les agrégats par événement. Pour les résultats d’enquêtes combinant plusieurs panels, pondérez par l’inverse du biais connu de chaque panel, pas sa taille d’échantillon. La méthodologie de FiveThirtyEight documente cela en détail — leurs agrégats de sondages appliquent à la fois des pondérations d’effet maison et des pondérations de récence, et les prévisions résultantes battent les moyennes de sondages non pondérées de plusieurs points de pourcentage en validation croisée.