Media ponderata

Una media ponderata è una media aritmetica dove ogni valore viene moltiplicato per un peso prima di sommare, e la somma viene divisa per il peso totale piuttosto che per il conteggio. Formula:

media_ponderata = Σ(wᵢ × xᵢ) / Σ(wᵢ)

Se tutti i pesi sono uguali, la media ponderata si riduce alla media regolare. Se un valore ha peso zero, non influisce sul risultato.

Dove appaiono le medie ponderate:

• GPA (media del voto americano). I voti dei corsi pesati per le ore di credito. Un A da 4 crediti conta più di un A da 1 credito.
• Tassi di interesse misti. Un debitore con $200.000 al 6% e $50.000 al 4% ha un tasso ponderato di (200×6 + 50×4) ÷ 250 = 5,6%.
• Sondaggi e survey. I gruppi demografici vengono pesati per corrispondere alla popolazione, in modo che un gruppo sotto-campionato conti di più per intervistato.
• Fondi indicizzati. Gli indici ponderati per capitalizzazione di mercato (S&P 500) pesano i costituenti per la loro capitalizzazione. Le varianti a peso uguale assegnano uguale peso indipendentemente.
• Medie mobili nelle serie temporali. Le medie mobili a ponderazione esponenziale pesano i dati recenti più pesantemente dei dati vecchi.

Errori comuni: usare i conteggi dove sono richiesti i pesi (fare la media delle percentuali senza ponderare per la dimensione del campione produce risultati del “paradosso di Simpson”), o pesare per la dimensione sbagliata interamente. Quando la domanda è “qual è la X media nella popolazione,” i pesi corretti sono le frequenze della popolazione, non i conteggi grezzi delle osservazioni.

Il paradosso di Simpson — la modalità di errore canonica: il caso di ammissione ai corsi di laurea di Berkeley del 1973 è l’esempio del libro di testo. L’università sembrava ammettere gli uomini a un tasso molto più alto delle donne (44% vs 35%) aggregando tra i dipartimenti — apparente discriminazione. Ma all’interno di ogni dipartimento, le donne venivano ammesse a tassi leggermente più alti degli uomini. Il ribaltamento è avvenuto perché le donne hanno fatto domanda sproporzionatamente in dipartimenti altamente competitivi con bassi tassi di accettazione complessivi. L’aggregato non ponderato ha invertito il pattern all’interno del gruppo. La soluzione è calcolare le medie ponderate con il denominatore corretto — tasso di ammissione ponderato per il pool di candidati per dipartimento — che elimina l’apparente discriminazione. La stessa trappola si trova nelle analisi dei sottogruppi degli studi clinici, nei report dei segmenti A/B-test e nelle aggregazioni delle classifiche universitarie. Riferimento: NIST/SEMATECH e-Handbook — Medie ponderate.

Esempio pratico: GPA con ore di credito

Un semestre con quattro corsi: A (4,0) in un corso di calcolo da 4 crediti, B (3,0) in un corso di fisica da 4 crediti, A− (3,7) in un corso di letteratura da 3 crediti, e A (4,0) in un laboratorio da 1 credito. Media non ponderata dei voti: (4,0 + 3,0 + 3,7 + 4,0) / 4 = 3,675. Ponderata per crediti: (4,0×4 + 3,0×4 + 3,7×3 + 4,0×1) / (4+4+3+1) = (16 + 12 + 11,1 + 4) / 12 = 43,1 / 12 ≈ 3,59. Il voto perfetto del laboratorio sposta appena la media; il B da 4 crediti la trascina notevolmente verso il basso. Riportare 3,67 a una commissione di post-laurea quando il tuo trascritto calcola 3,59 è la differenza tra “qualificato” e “segnalato per revisione.”

Quando pesare per qualcosa di non ovvio

Per i rendimenti del portafoglio, il peso corretto è l’esposizione in dollari (o la duration per il reddito fisso), non il conteggio delle partecipazioni. Per le metriche di sessione del sito web, pesare per sessioni o utenti piuttosto che trattare ogni record di caricamento pagina come uguale — gli utenti pesanti influenzano in modo sproporzionato gli aggregati per evento. Per i risultati dei sondaggi che combinano più panel, pesare per l’inverso del bias noto di ciascun panel, non per la sua dimensione del campione. La metodologia di FiveThirtyEight lo documenta in dettaglio — i loro aggregati di sondaggi applicano sia pesi per l’effetto casa che pesi per la recency, e le previsioni risultanti battono le medie non ponderate dei sondaggi di diversi punti percentuali nella cross-validazione.