Z-skoru

Z-skoru (ya da standart skor), bir değerin ortalamadan kaç standart sapma yukarı veya aşağıda olduğunu ölçer. Formül: z = (x − ortalama) ÷ standart_sapma.

z = 0 olan bir değer ortalamadır. z = 1, ortalamanın bir standart sapma üstündedir. z = −2, iki standart sapma altındadır. Kabaca normal bir dağılım için |z| > 2 değerlerin yaklaşık %5'ini, |z| > 3 ise yaklaşık %0,3'ünü kapsar.

Z-skorlarına dönüştürmenin amacı: farklı ölçekleri aynı ölçüt çubuğuna koymak. Sınıf ortalamasının 70 ve SS'nin 10 olduğu bir matematik sınavında 75, z = 0,5 verir. Ortalamanın 65 ve SS'nin 5 olduğu bir Fransızca sınavında 68, z = 0,6 verir. Fransızca notu görece daha iyidir; ham notlar bunu söyleyemez.

Z-skorları standart testlerde (SAT, GMAT), klinik referans aralıklarında (kemik yoğunluğu, büyüme eğrileri), kalite kontrolünde (süreç yeterlilik endeksleri) ve farklı ortalama ve yayılmalara sahip popülasyonlar arasında karşılaştırma gereken her bağlamda yer alır.

İstatistik hesaplayıcımız ortalama ve standart sapmayı hesaplar; z-skoru sonuç üzerinde bir satırlık çıkarma-sonra-bölme işlemidir.

Z-skorundan yüzdeliğe ve geri: normal dağılım için kümülatif dağılım fonksiyonu (Φ), z-skorlarını doğrudan yüzdeliklere dönüştürür. z = 0 → 50. yüzdelik (ortanca), z = 1 → ~84., z = 1,645 → 95., z = 1,96 → 97,5. (standart çift taraflı %95 güven sınırı), z = 2,576 → 99,5. Bu kesim noktaları hipotez testinin omurgasıdır — 1,96'lık z-skoru, çift taraflı testin α = 0,05'te sıfır hipotezini reddettiği değerdir. Normal olmayan veriler için z-skoru hâlâ "SS birimlerinde ortalamadan sapmaları" ölçer; ancak karşılık gelen yüzdelik gerçek dağılıma bağlıdır ve normal tablolarla değiştirilemez.

Dağınık veriler için güçlü z-skorları: aykırı değerler standart sapmayı şişirir; bu da veri kümesindeki her z-skorunu deflate eder ve tespit etmeye çalıştığınız aykırı değerleri gizler. Değiştirilen z-skoru (Iglewicz ve Hoaglin, 1993), ortalama ve SS yerine medyan ve medyan mutlak sapma (MAD) kullanır: z_degistirilmis = 0,6745 · (x − medyan) / MAD. 0,6745 sabiti, MAD'ı normal veriler için değiştirilen z-skorunun geleneksel olanla eşleşmesi için ölçekler. Kural, |z_degistirilmis| > 3,5 olan gözlemleri aykırı değer olarak işaretlemektir — standart z-skorunun sağlayamadığı kontaminasyona karşı güçlü biçimde. İlgili: yüzdelik dilim, örneklem standart sapması.

Çözümlü örnek

İki yaşındaki bir çocuk 89 cm boyundadır. İki yaşındaki kızlar için DSÖ büyüme eğrisi verilerinde ortalama 86,4 cm, SS 3,3 cm'dir. Z-skoru: z = (89 − 86,4) / 3,3 = 0,79. Bu z değeri standart normal tablosunda ~78. yüzdeliğe karşılık gelir — iki yaşındaki çocukların %78'inden uzun, normal sınırlar içinde (pediatristler genellikle z < −2 veya z > 2 civarında değerlendirme için işaretler; yaklaşık <2,3. veya >97,7. yüzdeliğe karşılık gelir). Aynı çocuğun 14 kg ağırlığı, ortalama 12,3 kg, SS 1,4 kg'a göre: z = (14 − 12,3) / 1,4 = 1,21 → ~89. yüzdelik. Boy-z (0,79) ile ağırlık-z (1,21) karşılaştırması, çocuğun boyuna kıyasla beklenenden ağır olduğunu gösterir — her iki ham ölçümden daha kullanışlı klinik bir sinyal.

Ne zaman ve neden önem taşır

Z-skorları, ölçeği soyarak elma ile portakalı karşılaştırmanızı sağlar. DSÖ ve CDC büyüme eğrilerini, FICO ve diğer kredi skoru normalleştirmelerini, fitness değerlendirmesinde Cooper Testini, Six Sigma süreç yeterlilik endekslerini (6σ süreç, en yakın spesifikasyon sınırının z = 6'da olduğu anlamına gelir — milyarda yaklaşık iki hata) ve istatistikteki neredeyse her hipotez testini (Student t-testi, ANOVA, regresyon katsayısı anlamlılığının tamamı etkinin standart hataya oranı şeklindeki z benzeri bir orana indirgenir) yönetir. Bilinmesi gereken tuzak: z-skorları, temel dağılımın en azından yaklaşık olarak normal olduğunu varsayar. Yoğun çarpık veriler için (gelir, yanıt süresi, dosya boyutu) z değeri 3, 99,87. yüzdelik değildir — güçlü z-skorları veya parametrik olmayan yöntemler gerekir. Kaynak: DSÖ Çocuk Büyüme Standartları.