Matematik notasyonu olmadan standart sapma açıklandı

Standart sapma, bir değerler kümesinin ne kadar yayıldığını özetleyen tek bir sayıdır. Küçük bir standart sapma, değerlerin ortalama etrafında sıkı kümelendiği anlamına gelir. Büyük bir standart sapma, dağıldıkları anlamına gelir. Kavramın tamamı budur. Geri kalan her şey — formül, n-1 ile n tartışması, çan eğrisi — yayılımı farklı veri kümeleri ve örneklem boyutları arasında karşılaştırılabilir kılmak için yalnızca mekanizmadır.

Gerçekte neyi ölçer

Her birinin ortalama test puanının 75 olduğu iki sınıf düşünün.

• A Sınıfı: puanlar 73, 74, 75, 76, 77. Standart sapma: 1,6.
• B Sınıfı: puanlar 55, 65, 75, 85, 95. Standart sapma: 15,8.

Aynı ortalama, çok farklı dağılımlar. A Sınıfı homojen; B Sınıfı geniş bir aralığa sahip. Standart sapma bu farkı tek bir sayıyla yakalar.

Nasıl hesaplanır (üç adımda)

1. Ortalamayı bulun. Değerleri toplayın, sayıya bölün.
2. Her değerin ortalamadan kare uzaklığını hesaplayın. A Sınıfı için ortalama 75. Kare uzaklıklar: (73-75)²=4, (74-75)²=1, (75-75)²=0, (76-75)²=1, (77-75)²=4. Toplam: 10.
3. n-1 (örneklem) veya n (popülasyon)’e bölün, ardından kare kök alın. A Sınıfı: 10/(5-1)=2,5; sqrt(2,5)=1,58.

n ile n-1: iki formül neden var

Tüm verilere sahipseniz (popülasyondaki her değer),n’e bölün. Daha büyük bir popülasyondan çekilmiş bir örneklem varsa ve o popülasyonun standart sapmasını tahmin etmek istiyorsanız, n-1’e bölün. n-1 versiyonuna örneklem standart sapması, n versiyonuna popülasyon standart sapması denir.

Örneklem ortalaması örneklemin kendisinde bir nokta olduğundan, örneklem gerçek popülasyon yayılımını küçümseme eğilimindedir. n-1’e bölmek tahmin yeterince şişirilerek ortalamada sapma düzeltilir. Buna Bessel düzeltmesi denir.

Sayı nasıl okunur

• Değerlerin ~%68’i ortalamadan ±1 standart sapma içindedir (yaklaşık normal dağılımlar için).
• ~%95’i ±2 standart sapma içindedir.
• ~%99,7’si ±3 standart sapma içindedir.

Bu “68-95-99.7 kuralı” (ampirik kural olarak da bilinir) yaklaşık çan şeklindeki her dağılım için geçerlidir.

Tek bir gözlemi “ortalamanın kaç standart sapma uzağında” olarak ifade etmek o kadar kullanışlıdır ki kendi adı vardır: z-skoru.

Standart sapmanın yanlış araç olduğu durumlar

1. Aykırı değerler. Bir uç değer standart sapmayı önemli ölçüde şişirir. Bunun yerine çeyrekler arası aralığı veya medyan mutlak sapmayı kullanın.
2. Çarpık dağılımlar. Değerlerin çoğu küçük, birkaçı çok büyük olduğunda yüzdelikleri veya çeyrekleri bildirin.
3. Kategorik veriler. Standart sapma anlamlı mesafenin olduğu sayısal bir ölçek gerektirir.

Hızlı çalışma örneği

Veri kümesi: [4, 8, 6, 5, 3, 7]

• Ortalama: (4+8+6+5+3+7) / 6 = 5,5
• Kare sapmalar: 2,25 + 6,25 + 0,25 + 0,25 + 6,25 + 2,25
• Kare sapma toplamı: 17,5
• Örneklem varyansı (÷ n-1): 17,5 / 5 = 3,5
• Örneklem standart sapması: √3,5 = 1,87

İstatistik hesaplayıcımızla doğrulayın — ortalama, medyan, her iki standart sapma versiyonu ve yüzdelikleri tek geçişte hesaplar.

Yaygın hatalar

• Bir raporda n ile n-1’i tutarsız kullanmak. Excel STDEV.S ile NumPy varsayılan numpy.std’yi aynı analizde karıştırmak küçük ama gerçek tutarsızlıklar üretir.
• n olmadan standart sapma raporlamak. n ile birlikte her standart sapmayı bildirin; n=10’un altında standart sapmayı kaba tahmin olarak değerlendirin.
• Standart sapma ile standart hatayı karıştırmak. Standart sapma verinin yayılımını tanımlar; ortalamanın standart hatası ortalama tahmininin kesinliğini tanımlar. SEM = SS / √n.
• Standart sapmaları toplamak. SS’ler toplanamaz. Bağımsız değişkenlerin varyansları toplanır; SS_birleşik = √(SS₁² + SS₂²).