Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt von n Werten: GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n). Anders als das arithmetische Mittel ist das geometrische Mittel das richtige Werkzeug, um Verhältnisse, Prozentsätze und zusammengesetzte Wachstumsraten zu mitteln.

Warum es zählt: Stellen Sie sich eine Anlage vor, die in Jahr 1 +50 % und in Jahr 2 −50 % erzielt. Das arithmetische Mittel von [1,5; 0,5] beträgt 1,0 – was nahelegt, die Anlage habe die Gewinnschwelle erreicht. Doch aus 100 $ werden nach Jahr 1 150 $ und nach Jahr 2 75 $ – ein Verlust von 25 %. Das geometrische Mittel von [1,5; 0,5] beträgt √(1,5 × 0,5) = √0,75 ≈ 0,866 und zeigt korrekt einen annualisierten Verlust von 13,4 % an.

Standard-Anwendungsfälle:

• Durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR). Das geometrische Mittel der Jahr-über-Jahr-Verhältnisse.
• Indexzahlen. Nach Verhältnissen gewichtete Börsenindizes nutzen geometrische Mittel, um Verzerrungen durch das arithmetische Mittel zu vermeiden.
• Verhältnis-zu-Verhältnis-Vergleiche. Wenn die Eingaben multiplikativ statt additiv sind (sich zusammensetzende Gewinne, Dosierung).

Das geometrische Mittel ist stets ≤ dem arithmetischen Mittel. Gleichheit gilt nur, wenn alle Werte identisch sind. Bei stark variierenden Werten kann die Lücke groß sein – was genau der Grund ist, warum die Wahl des richtigen Mittels zählt.

Durchgerechnetes Beispiel

Sie investieren 10.000 $ in einen Fonds. Renditen: Jahr 1 +30 %, Jahr 2 −20 %, Jahr 3 +25 %, Jahr 4 −10 %, Jahr 5 +15 %. Arithmetisches Mittel von [30; −20; 25; −10; 15] = 8 % – was die Werbebroschüre angeben würde. Setzen Sie nun das echte Geld zusammen: 10.000 × 1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15 = 10.000 × 1,3455 = 13.455 $. Gesamtgewinn 34,55 % über fünf Jahre. Das geometrische Mittel: (1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15)^(1/5) = 1,3455^0,2 ≈ 1,0612 – eine annualisierte Rendite von 6,12 %. Das ist die „CAGR“, die die SEC von US-Investmentfonds anstelle des arithmetischen Mittels verlangt, denn 8 % anzugeben würde 1,08⁵ × 10.000 = 14.693 $ implizieren – die tatsächliche Performance um 9 % überzeichnen. Der Unterschied wächst mit der Renditevolatilität: Zwei Anlagen mit derselben arithmetisch-mittleren Rendite können sehr unterschiedliche CAGR haben, wenn eine volatiler ist.

Ein weiterer aufschlussreicher Fall: Der Backtest einer algorithmischen Handelsstrategie meldet Renditen von [+40 %; +30 %; −50 %; +20 %; +10 %] über fünf Jahre. Arithmetisches Mittel: 10 % pro Jahr. Geometrisches Mittel: (1,40 × 1,30 × 0,50 × 1,20 × 1,10)^(1/5) ≈ 1,2012^0,2 ≈ 1,037 – nur 3,7 % annualisiert. Das −50-%-Jahr dominiert alles; ein einziger tiefer Drawdown zerstört die Langfristrendite ungeachtet späterer Gewinne. Deshalb betonen Hedgefonds-Offenlegungen den „maximalen Drawdown“ neben den annualisierten Renditen.

Wann und warum es zählt

Das geometrische Mittel zählt in jedem Kontext, in dem sich Zahlen zusammensetzen: Anlagerenditen, biologische Wachstumsraten, virale Ausbreitung (R₀) und Abschreibung. Der Fehler des arithmetischen Mittels ist am größten, wenn einzelne Werte stark variieren – symmetrische ±50-%-Renditen erzeugen einen Nettoverlust, weil Gewinne und Verluste asymmetrisch zusammenwirken (ein Verlust von 50 % erfordert einen Gewinn von 100 % zur Erholung). Dieselbe Lektion gilt für Prozentsätze beim Gewichtsverlust, Bakterienkolonie-Zählungen und jede „durchschnittliche Änderungsrate“, die über mehrere Zeiträume gemeldet wird. Der umgekehrte Fehler – das geometrische Mittel für additive Größen wie Tagestemperaturen oder Testergebnisse zu verwenden – erzeugt bedeutungslose Zahlen. Die Regel: Wenn sich die Werte zum Endergebnis multiplizieren, verwenden Sie das geometrische Mittel; wenn sie sich addieren, das arithmetische. Für gemischte Szenarien (Sharpe-Ratios, gewichtete Mittelwerte) existieren spezialisierte Formeln. Quelle: Investopedia — Compound Annual Growth Rate.

Der Trick zur numerischen Stabilität – im Log-Raum arbeiten: Das Produkt vieler Werte direkt zu berechnen, läuft bei IEEE-754-Doubles schnell über oder unter (10 Werte von je 0,1 ergeben 10⁻¹⁰, in Ordnung; 50 Werte ergeben 10⁻⁵⁰, in Ordnung; 500 Werte ergeben 0,0, definitiv nicht in Ordnung). Die Standardlösung ist, stattdessen exp(mean(log(x))) zu berechnen. Logarithmen verwandeln das Produkt in eine Summe, die Summe bleibt im darstellbaren Bereich, und das abschließende exp stellt das geometrische Mittel wieder her. Jede statistische Bibliothek (NumPy, SciPy, R) implementiert das geometrische Mittel intern so; eine naive Eigenimplementierung ist eine der häufigeren Weisen, bei großen Stichproben stillschweigend Nullen zu erzeugen.

Warum das geometrische Mittel für Verhältnisse funktioniert – die Intuition: Verhältnisse leben auf einer logarithmischen, nicht einer linearen Skala. „Verdoppelt“ (×2) und „halbiert“ (×0,5) sind symmetrische multiplikative Änderungen – sie sollten sich zu „keine Veränderung“ (×1) mitteln, nicht zu „1,25ד, wie das arithmetische Mittel nahelegen würde. Das geometrische Mittel respektiert diese Symmetrie, weil es den durchschnittlichen Logarithmus der Verhältnisse berechnet. Deshalb nutzen Finanzwesen, Biologie (Zellwachstumsraten) und Physik (radioaktiver Zerfall) für Zeitreihen-Verhältnisse standardmäßig geometrische Mittel. Verwandt: harmonisches Mittel, arithmetisches Mittel, Zinseszins. Quelle: NIST/SEMATECH e-Handbook — Geometric Mean.