Gewichteter Mittelwert

Ein gewichteter Mittelwert ist ein arithmetisches Mittel, bei dem jeder Wert vor dem Summieren mit einem Gewicht multipliziert wird und die Summe durch das Gesamtgewicht statt durch die Anzahl geteilt wird. Formel:

weighted_mean = Σ(wᵢ × xᵢ) / Σ(wᵢ)

Sind alle Gewichte gleich, reduziert sich der gewichtete Mittelwert auf den gewöhnlichen Mittelwert. Hat ein Wert das Gewicht null, beeinflusst er das Ergebnis nicht.

Wo gewichtete Mittelwerte auftreten:

• Notenschnitt (US-amerikanischer GPA). Kursnoten gewichtet nach Credit-Stunden. Ein A mit 4 Credits zählt mehr als ein A mit 1 Credit.
• Gemischte Zinssätze. Ein Kreditnehmer mit 200.000 $ zu 6 % und 50.000 $ zu 4 % hat einen gewichteten Zinssatz von (200×6 + 50×4) ÷ 250 = 5,6 %.
• Umfragen und Erhebungen. Demografische Gruppen werden so gewichtet, dass sie zur Bevölkerung passen, sodass eine unterrepräsentierte Gruppe pro Befragtem mehr zählt.
• Indexfonds. Marktkapitalisierungsgewichtete Indizes (S&P 500) gewichten ihre Bestandteile nach Marktkapitalisierung. Gleichgewichtete Varianten weisen unabhängig davon gleiches Gewicht zu.
• Gleitende Durchschnitte in Zeitreihen. Exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitte gewichten neuere Daten stärker als alte.

Häufige Fehler: Anzahlen verwenden, wo Gewichte erforderlich sind (Prozentsätze ohne Gewichtung nach Stichprobengröße zu mitteln erzeugt „Simpson-Paradoxon“-Ergebnisse), oder gänzlich nach der falschen Dimension gewichten. Lautet die Frage „wie hoch ist das durchschnittliche X über die Population“, sind die richtigen Gewichte die Bevölkerungshäufigkeiten, nicht die rohen Beobachtungszahlen.

Simpson-Paradoxon — der klassische Fehlermodus: der Berkeley-Fall zu Graduiertenzulassungen von 1973 ist das Lehrbuchbeispiel. Die Universität schien Männer zu einer weit höheren Quote zuzulassen als Frauen (44 % vs. 35 %), wenn man über die Fachbereiche aggregierte — scheinbare Diskriminierung. Doch innerhalb jedes Fachbereichs wurden Frauen zu leicht höheren Quoten zugelassen als Männer. Die Umkehrung trat ein, weil Frauen überproportional in hochkompetitiven Fachbereichen mit insgesamt niedrigen Zulassungsquoten bewarben. Das ungewichtete Aggregat kehrte das Muster innerhalb der Gruppen um. Die Lösung ist, gewichtete Mittelwerte mit dem richtigen Nenner zu berechnen — die nach Bewerberpool pro Fachbereich gewichtete Zulassungsquote — was die scheinbare Diskriminierung beseitigt. Dieselbe Falle taucht in Subgruppenanalysen klinischer Studien, A/B-Test-Segmentberichten und Universitätsranking-Aggregationen auf. Quelle: NIST/SEMATECH e-Handbook — Weighted means.

Durchgerechnetes Beispiel: Notenschnitt mit Credit-Stunden

Ein Semester mit vier Kursen: A (4,0) in einem Analysiskurs mit 4 Credits, B (3,0) in einem Physikkurs mit 4 Credits, A− (3,7) in einem Literaturkurs mit 3 Credits und A (4,0) in einem Praktikum mit 1 Credit. Ungewichtetes Mittel der Noten: (4,0 + 3,0 + 3,7 + 4,0) / 4 = 3,675. Gewichtet nach Credits: (4,0×4 + 3,0×4 + 3,7×3 + 4,0×1) / (4+4+3+1) = (16 + 12 + 11,1 + 4) / 12 = 43,1 / 12 ≈ 3,59. Die perfekte Note des Praktikums bewegt den Durchschnitt kaum; das B mit 4 Credits zieht ihn spürbar herunter. Einem Zulassungsausschuss 3,67 zu berichten, während Ihr Zeugnis 3,59 ergibt, ist der Unterschied zwischen „qualifiziert“ und „zur Prüfung markiert“.

Wann man nach etwas Nicht-Offensichtlichem gewichtet

Für Portfoliorenditen ist das korrekte Gewicht das Dollar-Exposure (oder die Duration bei festverzinslichen Werten), nicht die Anzahl der Positionen. Für Website-Sitzungsmetriken gewichten Sie nach Sitzungen oder Nutzern, statt jeden Seitenaufruf-Datensatz gleich zu behandeln — intensive Nutzer beeinflussen Aggregate je Ereignis überproportional. Für Umfrageergebnisse, die mehrere Panels kombinieren, gewichten Sie nach dem Kehrwert der bekannten Verzerrung jedes Panels, nicht nach seiner Stichprobengröße. Die Methodik des Umfrageinstituts FiveThirtyEight dokumentiert dies im Detail — ihre Umfrage-Aggregate wenden sowohl Hauseffekt- als auch Aktualitätsgewichte an, und die resultierenden Prognosen schlagen ungewichtete Umfragedurchschnitte in der Kreuzvalidierung um mehrere Prozentpunkte.