Media geométrica

La media geométrica es la raíz n-ésima del producto de n valores: MG = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n). A diferencia de la media aritmética, la media geométrica es la herramienta correcta para promediar razones, porcentajes y tasas de crecimiento compuesto.

Por qué importa: imagina una inversión que rinde +50% en el año 1 y −50% en el año 2. La media aritmética de [1,5; 0,5] es 1,0, lo que sugiere que la inversión quedó en equilibrio. Pero $100 invertidos se convierten en $150 tras el año 1 y $75 tras el año 2, una pérdida del 25%. La media geométrica de [1,5; 0,5] es √(1,5 × 0,5) = √0,75 ≈ 0,866, lo que indica correctamente una pérdida anualizada del 13,4%.

Casos de uso estándar:

• Tasa de crecimiento anual compuesto (CAGR). La media geométrica de las razones año a año.
• Números índice. Los índices bursátiles ponderados por razones usan medias geométricas para evitar la distorsión de la media aritmética.
• Comparaciones de razón de razones. Cuando los valores son multiplicativos en lugar de aditivos (ganancias que se acumulan, dosificación).

La media geométrica siempre es ≤ la media aritmética. La igualdad se cumple solo cuando todos los valores son idénticos. Para valores muy variables, la brecha puede ser grande, lo que es precisamente la razón por la que usar la correcta importa.

Ejemplo práctico

Inviertes $10.000 en un fondo. Rendimientos: año 1 +30%, año 2 −20%, año 3 +25%, año 4 −10%, año 5 +15%. Media aritmética de [30, −20, 25, −10, 15] = 8%, lo que citaría el folleto de marketing. Ahora compón el dinero real: 10.000 × 1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15 = 10.000 × 1,3455 = $13.455. Ganancia total del 34,55% en cinco años. La media geométrica: (1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15)^(1/5) = 1,3455^0,2 ≈ 1,0612, un rendimiento anualizado del 6,12%. Ese es el “CAGR” que la SEC exige informar a los fondos mutuos de EE. UU. en lugar de la media aritmética, porque informar el 8% implicaría 1,08⁵ × 10.000 = $14.693, sobrestimando el rendimiento real en un 9%. La diferencia crece con la volatilidad de los rendimientos: dos activos con la misma media aritmética pueden tener CAGR muy diferentes si uno es más volátil.

Un caso ilustrativo más: un backtest de estrategia de trading algorítmico reporta rendimientos de [+40%, +30%, −50%, +20%, +10%] en cinco años. Media aritmética: 10% por año. Media geométrica: (1,40 × 1,30 × 0,50 × 1,20 × 1,10)^(1/5) ≈ 1,2012^0,2 ≈ 1,037, solo el 3,7% anualizado. El año −50% domina todo; una caída profunda destruye el rendimiento a largo plazo independientemente de las ganancias posteriores. Por eso las divulgaciones de los fondos de cobertura enfatizan la “caída máxima” junto con los rendimientos anualizados.

Cuándo y por qué importa

La media geométrica importa en cualquier contexto donde los números se acumulan: rendimientos de inversión, tasas de crecimiento biológico, propagación viral (R₀) y depreciación. El error de la media aritmética es mayor cuando los valores individuales varían ampliamente: rendimientos simétricos de ±50% producen una pérdida neta porque las ganancias y pérdidas se componen de forma asimétrica (una pérdida del 50% requiere una ganancia del 100% para recuperarse). La misma lección se aplica a los porcentajes de pérdida de peso, los recuentos de colonias bacterianas y cualquier “tasa de cambio promedio” reportada en múltiples períodos de tiempo. El error opuesto, usar la media geométrica para cantidades aditivas como temperaturas diarias o puntuaciones de exámenes, produce números sin sentido. La regla: si los valores se multiplican para producir el resultado final, usa la media geométrica; si se suman, usa la aritmética. Para escenarios mixtos (razones de Sharpe, promedios ponderados), existen fórmulas especializadas. Referencia: Investopedia — Tasa de crecimiento anual compuesto.

El truco de estabilidad numérica: trabajar en espacio logarítmico: calcular el producto de muchos valores directamente desborda o subdesborda rápidamente los dobles IEEE 754. La solución estándar es calcular exp(mean(log(x))). Los logaritmos convierten el producto en suma, la suma permanece en rango representable y el exp final recupera la media geométrica. Cada biblioteca estadística (NumPy, SciPy, R) implementa la media geométrica de esta forma internamente; calcularla ingenuamente es una de las formas más comunes de producir silenciosamente ceros para muestras grandes.

Por qué la media geométrica funciona para razones — la intuición: las razones viven en una escala logarítmica, no lineal. “Duplicado” (×2) y “dividido a la mitad” (×0,5) son cambios multiplicativos simétricos que deberían promediar a “sin cambio” (×1), no a “1,25×” como sugeriría la media aritmética. La media geométrica respeta esta simetría porque calcula el logaritmo promedio de las razones. Por eso las finanzas, la biología (tasas de crecimiento celular) y la física (decaimiento radiactivo) tienen por defecto medias geométricas para razones de series temporales. Relacionado: media armónica, media aritmética, interés compuesto. Referencia: NIST/SEMATECH e-Handbook — Media geométrica.