Media geometrica

La media geometrica è la radice n-esima del prodotto di n valori: GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n). A differenza della media aritmetica, la media geometrica è lo strumento corretto per mediare rapporti, percentuali e tassi di crescita composti.

Perché è importante: immagina un investimento che rende +50% nel primo anno e −50% nel secondo. La media aritmetica di [1,5; 0,5] è 1,0 — suggerendo che l’investimento sia in pari. Ma $100 investiti diventano $150 dopo il primo anno e $75 dopo il secondo — una perdita del 25%. La media geometrica di [1,5; 0,5] è √(1,5 × 0,5) = √0,75 ≈ 0,866, che indica correttamente una perdita annualizzata del 13,4%.

Casi d’uso standard:

• Tasso annuo di crescita composto (CAGR). La media geometrica dei rapporti anno su anno.
• Numeri indice. Gli indici azionari ponderati per rapporti usano medie geometriche per evitare la distorsione della media aritmetica.
• Confronti rapporto-su-rapporto. Quando gli input sono moltiplicativi anziché additivi (guadagni composti, dosaggi).

La media geometrica è sempre ≤ della media aritmetica. L’uguaglianza vale solo quando tutti i valori sono identici. Per valori molto variabili, il divario può essere grande — ed è esattamente per questo che usare quella giusta è importante.

Esempio pratico

Investi $10.000 in un fondo. Rendimenti: anno 1 +30%, anno 2 −20%, anno 3 +25%, anno 4 −10%, anno 5 +15%. Media aritmetica di [30, −20, 25, −10, 15] = 8% — quella che riporterebbe il depliant promozionale. Ora componi il denaro effettivo: 10.000 × 1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15 = 10.000 × 1,3455 = $13.455. Guadagno totale del 34,55% su cinque anni. La media geometrica: (1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15)^(1/5) = 1,3455^0,2 ≈ 1,0612 — un rendimento annualizzato del 6,12%. Questo è il “CAGR” che la SEC impone ai fondi comuni statunitensi di riportare al posto della media aritmetica, perché riportare l’8% implicherebbe 1,08⁵ × 10.000 = $14.693 — sovrastimando la performance effettiva del 9%. La discrepanza cresce con la volatilità dei rendimenti: due asset con la stessa media aritmetica possono avere CAGR molto diversi se uno è più volatile.

Un altro caso illustrativo: il backtest di una strategia di trading algoritmico riporta rendimenti di [+40%, +30%, −50%, +20%, +10%] su cinque anni. Media aritmetica: 10% all’anno. Media geometrica: (1,40 × 1,30 × 0,50 × 1,20 × 1,10)^(1/5) ≈ 1,2012^0,2 ≈ 1,037 — solo il 3,7% annualizzato. L’anno con −50% domina tutto; un singolo drawdown profondo distrugge il rendimento a lungo termine indipendentemente dai guadagni successivi. È per questo che le comunicazioni degli hedge fund enfatizzano il “drawdown massimo” insieme ai rendimenti annualizzati.

Quando e perché è importante

La media geometrica è rilevante in qualsiasi contesto in cui i numeri si compongono: rendimenti degli investimenti, tassi di crescita biologica, diffusione virale (R₀) e ammortamento. L’errore della media aritmetica è maggiore quando i singoli valori variano ampiamente — rendimenti simmetrici di ±50% producono una perdita netta perché guadagni e perdite si compongono asimmetricamente (una perdita del 50% richiede un guadagno del 100% per recuperare). La stessa lezione si applica alle variazioni percentuali di peso, ai conteggi di colonie batteriche e a qualsiasi “tasso medio di variazione” riportato su più periodi di tempo. L’errore opposto — usare la media geometrica per quantità additive come le temperature giornaliere o i punteggi dei test — produce numeri privi di senso. La regola: se i valori si moltiplicano per produrre il risultato finale, usa la media geometrica; se si sommano, usa quella aritmetica. Per scenari misti (indici di Sharpe, medie ponderate), esistono formule specializzate. Riferimento: Investopedia — Tasso annuo di crescita composto.

Il trucco della stabilità numerica — lavorare nello spazio logaritmico: calcolare il prodotto di molti valori direttamente causa rapidamente overflow o underflow nei numeri double IEEE 754 (10 valori di 0,1 ciascuno producono 10⁻¹⁰, va bene; 50 valori producono 10⁻⁵⁰, va bene; 500 valori producono 0,0, decisamente no). La soluzione standard è calcolare exp(mean(log(x))) invece. I logaritmi trasformano il prodotto in una somma, la somma rimane nell’intervallo rappresentabile e il exp finale recupera la media geometrica. Ogni libreria statistica (NumPy, SciPy, R) implementa la media geometrica in questo modo internamente; implementarla ingenuamente è uno dei modi più comuni per produrre silenziosamente zeri per campioni di grandi dimensioni.

Perché la media geometrica funziona per i rapporti — l’intuizione: i rapporti vivono su una scala logaritmica, non lineare. “Raddoppiato” (×2) e “dimezzato” (×0,5) sono variazioni moltiplicative simmetriche — dovrebbero mediare a “nessuna variazione” (×1), non a “1,25×” come suggerirebbe la media aritmetica. La media geometrica rispetta questa simmetria perché calcola la media del logaritmo dei rapporti. È per questo che la finanza, la biologia (tassi di crescita cellulare) e la fisica (decadimento radioattivo) usano tutte di default le medie geometriche per i rapporti di serie temporali. Correlati: media armonica, media aritmetica, interesse composto. Riferimento: NIST/SEMATECH e-Handbook — Media geometrica.