Harmonik ortalama

n değerin harmonik ortalaması, n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ)'dir — terslerin aritmetik ortalamasının tersi. Oran-birimler olarak ifade edilen hızları (saat başına mil, saniye başına istek, öğe başına dolar) ortalarken doğru ortalamadır.

Kanonik örnek. 30 mph hızla 60 mil, ardından 60 mph hızla 60 mil sürün. Ortalama hız nedir?

• Aritmetik ortalama: (30 + 60) / 2 = 45 mph. Yanlış.
• Harmonik ortalama: 2 / (1/30 + 1/60) = 40 mph. Doğru.

Sağlıklılık kontrolü: toplam 120 mil, toplam süre = 60/30 + 60/60 = 2 + 1 = 3 saat. 120 / 3 = 40 mph. Harmonik ortalama tam isabet; aritmetik ortalama ise sistematik olarak daha yüksek orana fazla ağırlık verir.

Harmonik ortalama her zaman geometrik ortalamadan küçük ya da eşittir, geometrik ortalama ise her zaman aritmetik ortalamadan küçük ya da eşittir. HO ≤ GO ≤ AO zinciri, matematiğin klasik eşitsizliklerinden biridir. Yanlış olanı seçmek, pek çok gerçek dünya aritmetik hatasının sessiz nedenidir — ortalanmış yakıt ekonomisi rakamları, hesaplanan ağ verimi, paralel sistemler için ortalama arıza süresi.

Harmonik ortalamayı, doğal "ortalama"nın sabit bir pay üzerindeki hız olduğu durumlarda kullanın (sabit mesafe, yapılacak sabit iş). Aritmetik ortalamayı toplamsal büyüklükler (boylar, puanlar) için kullanın. Geometrik ortalamayı çarpımsal büyüklükler (bileşik getiriler) için kullanın.

Makine öğrenmesinde F1 skoru: harmonik ortalama, sınıflandırma metriklerinde her yerde karşımıza çıkar; zira kesinlik ve geri çağırma, birbiriyle rekabet eden ölçeklerde yer alır. F1 skoru = 2 × kesinlik × geri çağırma / (kesinlik + geri çağırma), tam olarak kesinlik ve geri çağırmanın harmonik ortalamasıdır — dengesizliği aritmetik ortalamadan daha sert cezalandırır. %95 kesinlik ve %10 geri çağırmaya sahip bir sınıflandırıcının aritmetik ortalaması %52,5, ancak F1 skoru %18,1'dir. Harmonik ortalama doğru biçimde "bu kötü bir model" derken aritmetik ortalama yazı-tura gibi bir şey önerir. Her modern makine öğrenmesi değerlendirme çerçevesi bu nedenle F skorlarını varsayılan olarak kullanır. Referans: NIST/SEMATECH e-Handbook — Harmonik ortalama.

Paralel dirençler ve harmonik ortalama. Paralel bağlı n direncin toplam direnci 1 / (1/R₁ + ... + 1/Rₙ)'dir; bu, dirençlerin harmonik ortalamasının n'e bölümüdür. Paralel iki 100 Ω direnç 50 Ω'luk bir toplam direnç verir; bu (100, 100)'ün harmonik ortalamasının 2'ye bölümüdür. Aynı ilişki, sıvı taşıyan paralel borularda, iş yükünü paylaşan paralel işlemcilerde ve bağlantı havuzu tavanı altındaki paralel veritabanı bağlantılarında da geçerlidir — sınırlayıcı büyüklüğün toplamsal değil ters-toplamsal olduğu her şey. Bu bağlamlarda harmonik ortalamayı tanımak, formülü her seferinde yeniden türetmenizi önler.

Harmonik ortalamanın küçük değerlere neden duyarlı olduğu. Her terim tersinin aracılığıyla katkıda bulunduğundan, sıfıra yakın tek bir değer tüm ortalamayı sıfıra doğru çeker. (1, 1, 1, 1, 0,01) veri kümesinin aritmetik ortalaması 0,802 iken harmonik ortalaması 0,0476'dır — tek küçük değer baskın gelir. Bu bir hata değil bir özelliktir: hızları ortalarken yolculuğun yavaş bacağı, o yavaş hızda orantısız miktarda zaman geçirdiğiniz için genel ortalamayı aşağı çekmelidir. Aynı özellik, harmonik ortalamayı sıfıra yakın değerler içeren veriler için uygunsuz kılar (ve herhangi bir değer tam olarak sıfır olduğunda tanımsızdır; zira 1/0 tanımsızdır).

Harmonik ortalamayı hassasiyet kaybı olmadan hesaplama. Naif formül n / sum(1/x), değerler çok farklı büyüklük mertebelerine yayıldığında yuvarlama hatalarını birleştirir. Daha sayısal olarak kararlı bir yaklaşım, tersleri daha yüksek hassasiyetle hesaplamak, onları büyüklük sırasına göre sıralamak, küçükten büyüğe toplamak ve ardından tersi almaktır. Çoğu günlük veri kümesi için naif biçim yeterlidir; bir baz puan kesrini tam sayı katlarıyla kapsayan finansal hesaplamalarda sıralı varyant 2-3 ek basamak doğruluk sağlar. Convertitive'nin istatistik hesaplayıcısı boyunca çift hassasiyet kullanır; bu, her değerin bir JavaScript Number'ına sığdığı her veri kümesi için yeterince doğrudur.