Geometrik ortalama

Geometrik ortalama, n değerin çarpımının n'inci köküdür: GO = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n). Aritmetik ortalamadan farklı olarak geometrik ortalama, oranların, yüzdelerin ve bileşik büyüme hızlarının ortalamasını almak için doğru araçtır.

Neden önemli: birinci yılda +%50, ikinci yılda -%50 getiri sağlayan bir yatırımı düşünün. [1,5 ve 0,5]'in aritmetik ortalaması 1,0'dır; bu, yatırımın başa baş çıktığını ima eder. Oysa 100 TL yatırım, 1. yılın sonunda 150 TL, 2. yılın sonunda ise 75 TL'ye düşer — %25 kayıp. [1,5 ve 0,5]'in geometrik ortalaması √(1,5 × 0,5) = √0,75 ≈ 0,866 olup yıllık -%13,4 kaybı doğru biçimde gösterir.

Standart kullanım alanları:

• Bileşik yıllık büyüme oranı (YBBO / CAGR). Yıllık oranların geometrik ortalaması.
• Endeks sayıları. Oranlarla ağırlıklandırılan hisse senedi endeksleri, aritmetik ortalama bozulmasını önlemek için geometrik ortalamaları kullanır.
• Oran-oran karşılaştırmaları. Girdiler toplamsal değil çarpımsal olduğunda (bileşen kazançlar, dozajlama).

Geometrik ortalama, her zaman aritmetik ortalamadan küçük ya da eşittir. Tüm değerler özdeş olduğunda eşitlik sağlanır. Değerler arasındaki fark büyüdükçe aradaki boşluk da büyür; bu nedenle doğru olanı seçmek kritik önem taşır.

Çalışılmış örnek

10.000 $'ı bir fona yatırıyorsunuz. Getiriler: 1. yıl +%30, 2. yıl -%20, 3. yıl +%25, 4. yıl -%10, 5. yıl +%15. [30, -20, 25, -10, 15]'in aritmetik ortalaması = %8 — pazarlama broşürünün aktaracağı rakam. Şimdi gerçek parayı birleştirelim: 10.000 × 1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15 = 10.000 × 1,3455 = 13.455 $. Beş yılda toplam %34,55 kazanç. Geometrik ortalama: (1,30 × 0,80 × 1,25 × 0,90 × 1,15)^(1/5) = 1,3455^0,2 ≈ 1,0612 — yıllık %6,12 getiri. ABD'de SEC'in, aritmetik ortalama yerine, ABD yatırım fonlarının açıklamasını zorunlu kıldığı "YBBO" değeri budur; zira %8 raporlamak 1,08⁵ × 10.000 = 14.693 $ anlamına gelir — gerçek performansı %9 abartır. Getiri oynaklığıyla birlikte bu fark büyür: aynı aritmetik-ortalama getiriye sahip iki varlığın, biri diğerinden daha oynak olduğunda YBBO'ları çok farklı olabilir.

Bir örnek daha: bir algoritmik ticaret stratejisinin geri testi beş yılda [+%40, +%30, -%50, +%20, +%10] getiri raporluyor. Aritmetik ortalama: yılda %10. Geometrik ortalama: (1,40 × 1,30 × 0,50 × 1,20 × 1,10)^(1/5) ≈ 1,2012^0,2 ≈ 1,037 — yalnızca yıllık %3,7. -%50'lik yıl her şeye hükmeder; tek bir derin düşüş, sonraki kazançlardan bağımsız olarak uzun vadeli getiriyi mahveder. Bu yüzden hedge fon açıklamaları, yıllık getirilerin yanı sıra "maksimum düşüş"ü de vurgular.

Ne zaman ve neden önemli

Geometrik ortalama, sayıların bileşim yaptığı her bağlamda önemlidir: yatırım getirileri, biyolojik büyüme hızları, viral yayılma (R₀) ve amortisman. Aritmetik ortalama hatası, bireysel değerler büyük ölçüde farklılaştığında en büyüktür — simetrik ±%50 getiriler net kayba yol açar çünkü kazanç ve kayıplar asimetrik bileşim yapar (%50 kayıp telafi için %100 kazanç gerektirir). Aynı ders kilo kaybı yüzdelerine, bakteri kolonisi sayımlarına ve birden fazla dönemde raporlanan her "ortalama değişim hızına" uygulanır. Tam tersi hata — günlük sıcaklıklar veya sınav puanları gibi toplamsal büyüklükler için geometrik ortalama kullanmak — anlamsız sayılar üretir. Kural: değerler nihai sonucu oluşturmak için çarpılıyorsa geometrik ortalama kullanın; toplanıyorsa aritmetik. Karma senaryolar (Sharpe oranları, ağırlıklı ortalamalar) için özel formüller mevcuttur. Referans: Investopedia — Bileşik Yıllık Büyüme Oranı.

Sayısal kararlılık hilesi — logaritmik uzayda çalışın: pek çok değerin çarpımını doğrudan hesaplamak, IEEE 754 kayan noktalı sayılarda hızla taşmaya veya sıfırlanmaya neden olur (0,1'in 10 katı değeri sorunsuz; 50 katı sorunsuz; 500 katı = 0,0, kesinlikle değil). Standart çözüm, ham çarpım yerine exp(mean(log(x))) hesaplamaktır. Logaritmalar çarpımı toplamaya çevirir; toplam temsil edilebilir aralıkta kalır; son exp ise geometrik ortalamayı geri kazandırır. Her istatistik kütüphanesi (NumPy, SciPy, R), geometrik ortalamayı bu şekilde uygular; naif kodlama, büyük örneklemler için sessizce sıfır üretmenin en yaygın yollarından biridir.

Geometrik ortalamanın oranlar için neden işe yaradığının sezgisi: oranlar doğrusal değil logaritmik ölçekte yaşar. "İki katı" (×2) ve "yarısı" (×0,5) simetrik çarpımsal değişikliklerdir — ortalamaları "değişim yok" (×1) olmalı, aritmetik ortalamanın öne süreceği "×1,25" değil. Geometrik ortalama, oranların logaritmalarının ortalamasını aldığından bu simetriyi korur. Bu yüzden finans, biyoloji (hücre büyüme hızları) ve fizik (radyoaktif bozunma) zaman serisi oranları için varsayılan olarak geometrik ortalamayı benimser. İlgili: harmonik ortalama, aritmetik ortalama, bileşik faiz. Referans: NIST/SEMATECH e-Handbook — Geometrik Ortalama.