Heron formülü

Heron formülü, yüksekliğe ihtiyaç duymadan bir üçgenin alanını üç kenar uzunluğundan hesaplar. Metrica adlı eserinde yayımlayan 1. yüzyıl matematikçisi İskenderiyeli Heron'un adını almıştır.

a, b, c kenar uzunlukları verildiğinde, yarı çevre s = (a + b + c) / 2 tanımlanır. Ardından:

A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

Formül, yalnızca kenar uzunluklarını kullandığı için zariftir — açı yok, yükseklik yok. Elinizde yalnızca üçgen bir parselin, bir yelkenin veya bir kiremit parçasının üç ölçümü olduğunda, Heron formülü alana en doğrudan yoldur.

Kenar durum: üç değer üçgen eşitsizliğini sağlamazsa (herhangi bir kenar ≥ diğer ikisinin toplamı), karekök altındaki ifade negatif olur ve formül gerçek bir çözüm vermez. Alan hesaplayıcımız bunu NaN yerine sıfır sonucu olarak gösterir.

Çalışılmış örnek: 13 m, 14 m ve 15 m kenarlı bir üçgen parselde yarı çevre s = (13 + 14 + 15)/2 = 21'dir. Ardından s − a = 8, s − b = 7, s − c = 6. Alan √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 m²'dir. Klasik 3-4-5 dik üçgen, daha tanıdık formülle bağlantıyı gösterir: s = 6, Heron ile alan √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6; bu, dik açı durumu için ½ · 3 · 4 = 6 ile örtüşür. a kenarlı eşkenar bir üçgen için Heron, A = (√3 / 4)·a²'ye indirgenir.

Dar üçgenler için sayısal kararlılık varyantı: bir kenar diğerlerinden çok daha uzun olduğunda ("iğne" üçgeni), standart Heron formülü s − a'nın neredeyse eşit sayıların farkı olması nedeniyle hassasiyetini feci biçimde yitirebilir. William Kahan'ın 1986 reformülasyonu, kenarları a ≥ b ≥ c olarak sıralar ve A = ¼·√((a + (b + c))·(c − (a − b))·(c + (a − b))·(a + (b − c))) hesaplar; bu, standart formun negatif ayrımcı hataları döndürdüğü üçgenlerde bile birkaç ULP'ye kadar sayısal olarak kararlıdır. Bretschneider formülü Heron'u rastgele dörtgenelere, Brahmagupta formülü ise çevrel dörtgenlere geneller. İlgili: alan hesaplayıcı, matematik metodolojisi.

Bir paragrafta türetme. Bir köşeden karşı kenara dik indirin; üçgen, hipotenüsleri orijinal kenarlar olan iki dik üçgene ayrılır. Pisagor teoremini iki kez uygulayın ve dik kenarı cebirsel olarak eleyin. a, b, c cinsinden elde edilen ifade simetrik biçimde s(s−a)(s−b)(s−c)'ye çarpanlarına ayrılır — trigonometriyi saklayan küçük bir cebir mucizesi. Hero'nun Metrica'daki özgün kanıtı geometrikti ve oldukça karmaşıktı; bugün kullandığımız cebirsel türetme 17. yüzyıla dayanır, ancak sonuç ortaçağ Çin matematiğinden (Qin Jiushao formülü, 1247) modern hesaplamalı geometriye kadar her yerde bağımsız olarak yeniden keşfedilmiştir.

Heron formülü ne zaman kullanılmaz. Bir tabanınız ve yüksekliğiniz varsa, A = ½·b·h daha hızlıdır ve karekök gerektirmez. İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa A = ½·a·b·sin(C), yarı çevre detoru tamamen atlayarak geniş açılı üçgenler için sayısal olarak daha kararlıdır. Üç köşenin koordinatları biliniyorsa bağcık formülü A = ½·|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|, karekökten kaçınır, bozuk (sıfır alanlı) üçgenleri zarif biçimde sıfır döndürerek ele alır ve rastgele çokgenlere geneller. Heron formülü yalnızca girdi olarak kenarları bildiğinizde doğru tercihdir.

Gerçek dünya kullanımları. Heron formülü, parselin iç kısmına erişimin kısıtlı olduğu durumlarda arazi ölçümünde kullanılan çalışma aracıdır — sınır boyunca üç kenar uzunluğunu adımlayabilir ve hiç içeri girmeden çevrili alanı hesaplayabilirsiniz. Yelken yapımcıları bunu kenar ölçümlerinden üçgen yelkenlerin yüzey alanını hesaplamak için kullanır. Bilgisayar grafikleri ardışık düzenleri, gölgeleme ve doku yoğunluğu hesaplamaları için örgü üçgen alanlarını hesaplamak amacıyla Heron formülünü (veya bağcık varyantını) kullanır. İnşaat sektöründeki tahmincilar, yüksekliği doğrudan ölçmenin merdiven gerektireceği çatı üçgenleri, çıkma pencereler ve düzensiz zemin kaplaması için bunu kullanır.