Zinseszinsformel: von Hand durchgerechnet

Zinseszinsrechner sind bequem, aber wenn Sie die Formel dahinter verstehen, können Sie jede Zahl, die sie ausgeben, plausibilisieren — auch die des Zinseszinsrechners dieser Seite. Dieser Ratgeber geht die Formel Schritt für Schritt mit runden Zahlen durch, sodass Sie die Rechnung von Hand nachvollziehen und genau sehen können, woher jede Zahl kommt.

Die Formel

Die Standardformel für den Zinseszins-Endwert lautet:

FV = P × (1 + r/n)^(n×t)

wobei P das Startkapital ist, r der nominale Jahreszins als Dezimalzahl (6 % ist 0,06), n die Zahl der Verzinsungsperioden pro Jahr und t die Zeit in Jahren. Die Klammer (1 + r/n) ist der Wachstumsfaktor für eine Periode; sie auf die Potenz n×t zu erheben, wendet dieses Wachstum einmal pro Periode an, für jede Periode über den gesamten Zeithorizont.

Durchgerechnetes Beispiel: 1.000 $ bei 6 %, jährlich verzinst

Nehmen wir den einfachsten Fall — jährliche Verzinsung, also n = 1, und jede „Periode“ ist ein Jahr. Startkapital P = 1.000 $, Zins r = 6 %. Jedes Jahr wird der Saldo mit 1,06 multipliziert:

Jede Zeile ist der vorherige Saldo mal 1,06 — das ist der gesamte Mechanismus. Wendet man die Formel direkt für Jahr 3 an: 1000 × (1,06)^3 = 1000 × 1,191016 = 1.191,02 $, was exakt mit der Handrechnung übereinstimmt. Das ^3ist die Kurzform für „dreimal hintereinander mit 1,06 multiplizieren“ — die Formel überspringt einfach die Zwischenzeilen.

Wechsel zu monatlicher Verzinsung

Verzinsen wir dieselben 1.000 $ bei 6 % nun monatlich statt jährlich, über 3 Jahre. Der Periodenzins wird zu r/n = 0,06/12 = 0,005 (0,5 % pro Monat), und der Exponent wird zu n×t = 12×3 = 36 Perioden:

FV = 1000 × (1,005)^36 = 1.196,68 $

Das sind 5,66 $ mehr als die 1.191,02 $ bei jährlicher Verzinsung mit demselben Zins und derselben Zeit — ein kleiner, aber realer Unterschied dadurch, dass Zinsen monatlich statt einmal jährlich verzinst werden. Wie stark sich die Verzinsungshäufigkeit bei größeren Beträgen auswirkt, zeigt unser Ratgeber zum Unterschied zwischen monatlicher und täglicher Verzinsung.

Eine monatliche Einzahlung hinzufügen

Die meisten realen Sparpläne bestehen aus regelmäßigen Einzahlungen, nicht nur einer Einmalanlage. Die erweiterte Formel fügt einen Einzahlungsterm hinzu:

FV = P(1 + r/n)^(nt) + C × (((1 + r/n)^(nt) − 1) / (r/n))

Nehmen wir dieselben 1.000 $ bei 6 % monatlich über 3 Jahre und fügen nun am Ende jedes Monats C = 50 $ hinzu. Der Wachstumsfaktor (1,005)^36 = 1,19668 ist derselbe wie zuvor. In den Einzahlungsterm eingesetzt: 50 × ((1,19668 − 1) / 0,005) = 50 × 39,336 = 1.966,79 $. Addiert man das Wachstum des Kapitals selbst, 1000 × 1,19668 = 1.196,68 $, ergibt sich eine Summe von 3.163,49 $. Die Gesamteinzahlungen über 36 Monate betragen 1000 + 50×36 = 2.800 $, die erwirtschafteten Zinsen also 3.163,49 $ − 2.800 $ = 363,49 $ — Geld, das der Saldo zusätzlich zu den tatsächlich eingezahlten Beträgen erwirtschaftet hat.

Ihre Rechnung prüfen

Drei Plausibilitätsprüfungen fangen die meisten Rechenfehler ab. Erstens: Der Saldo darf nie unter Ihre Gesamteinzahlungen fallen (außer bei negativem Zins, den diese Formel nicht abbildet). Zweitens: Bei r = 0 reduziert sich die Formel auf FV = P + C×n — kein Wachstum, nur Addition —, was speziell den Einzahlungsterm gut prüfbar macht. Drittens: Eine Verdopplung der Jahre sollte die erwirtschafteten Zinsen mehr als verdoppeln, nie weniger, weil spätere Perioden auf einer größeren Basis verzinst werden. Schlägt eine dieser Prüfungen fehl, kontrollieren Sie erneut, ob der Zins in eine Dezimalzahl umgewandelt und durch das richtige n geteilt wurde, bevor er in den Exponenten einging.