Finanz-Methodik

Fünf Werkzeuge stehen heute unter Convertitives Finanz-Säule: Hypothek, Zinseszins, Trinkgeld, Mehrwertsteuer und Rabatt. Alle fünf sind reine Mathematik in geschlossener Form — keine proprietären Anpassungen, keine Marketing-Verpackung, kein Abruf an einen entfernten Zinsdienst.

Diese Seite geht die Formel hinter jedem einzelnen durch, damit Sie (a) das Ergebnis von Hand nachvollziehen und (b) die Berechnung überall zitieren können, wo sie belegbar sein muss.

Hypothek — die Standardformel für tilgende Kredite

Die monatliche Rate einer Festzinshypothek ist der eindeutige Wert, der die Restschuld auf null treibt, wenn er für die volle Laufzeit jeden Monat angewandt wird. Die geschlossene Form lautet:

M = P · r / (1 − (1 + r)^−n)

Dabei ist P das Kreditkapital (Hauspreis minus Anzahlung), r der monatliche Zinssatz (Jahres-APR ÷ 12, als Dezimalzahl) und n die Gesamtzahl der Monatsraten (Jahre × 12).

Herleitung

Die Formel ist lediglich die nach der Monatsrate aufgelöste Barwertgleichung einer Annuität. Der Barwert von n gleichen Zahlungen von M beim Monatszins r beträgt M · (1 − (1 + r)^−n) / r. Setzt man dies gleich dem Kapital P und löst nach M auf, ergibt sich die obige Formel.

Randfälle

• Zinssatz null. Die Formel hat bei r = 0 einen 0/0-Grenzwert. Wir behandeln ihn explizit: bei 0 % APR ist die Monatsrate einfach P / n.
• Dezimale Monate. Die Formel verwendet ein ganzzahliges n. Wir runden Jahre × 12 vor der Auswertung auf die nächste ganze Zahl.

Was nicht enthalten ist

Grundsteuer, Wohngebäudeversicherung, HOA-Gebühren und PMI. Das sind alles reale Bestandteile der monatlichen Belastung eines Eigenheimbesitzers (das „PITI“), aber sie variieren je nach Rechtsgebiet, Immobilie und Kreditgeber. Sie einzubeziehen würde den Rechner zwingen, entweder 8 weitere Fragen vorab zu stellen oder zu raten. Wir haben uns entschieden, nur Kapital + Zinsen zurückzugeben, damit die Mathematik nachprüfbar bleibt.

Zinseszins — Endwert mit periodischen Einzahlungen

Zinseszins ist die Lehrbuch-Endwertformel mit Einzahlungen. Bei Kapital P, Jahreszins R (Prozent), k-facher Verzinsung pro Jahr über t Jahre, mit Einzahlung C am Ende jeder Zinsperiode:

FV = P · (1 + r)^n + C · ((1 + r)^n − 1) / r

Dabei ist r = R/100/k und n = k · t. Bei r = 0 degeneriert die Formel zu FV = P + C · n; wir behandeln diesen Fall explizit.

Konvention zum Zeitpunkt der Einzahlung

Einzahlungen werden am Ende jeder Periode angenommen (nachschüssige Annuität). Einzahlungen am Periodenanfang verdienen eine zusätzliche Wachstumsperiode; der Unterschied ist bei monatlicher Verzinsung gering, wird aber bei jährlicher Frequenz über lange Zeiträume bedeutsam. Wenn Sie die vorschüssige Berechnung benötigen, multiplizieren Sie unser Ergebnis mit (1 + r).

Trinkgeld — unkomplizierte Addition

Der Trinkgeldrechner verarbeitet drei Zahlen — Rechnungsbetrag, Trinkgeldprozentsatz, optionaler Steuerprozentsatz — und einen Nenner, die Gruppengröße. Die Formel lautet:

total = bill · (1 + tip%/100 + tax%/100)
per_person = total / max(1, group_size)

Die US-Trinkgeld-Etikette wendet den Trinkgeldprozentsatz auf den Nettobetrag der Rechnung an, daher setzen wir das Steuerfeld standardmäßig auf null und belassen es als separate Eingabe. Wenn Ihr Rechtsgebiet die Steuer als Teil des trinkgeldfähigen Betrags behandelt, multiplizieren Sie das Trinkgeld im Kopf mit (1 + tax).

Mehrwertsteuer — und die Falle beim Umkehren

Die Steuer hinzuzufügen ist Grundschularithmetik. Sie umzukehren bringt Menschen aus dem Konzept, weil der Prozentsatz auf die Nettobasis angewandt wird, nicht auf den Gesamtbetrag. Bei gegebenem Gesamtbetrag T und Steuersatz x (als Dezimalzahl):

pretax = T / (1 + x)

Häufiger Fehler: die Berechnung T − T·x. Diese verwendet die falsche Basis und unterschätzt den Nettobetrag um T · x². Bei 8 % Steuer ist das ein Fehler von 0,64 % auf den Nettobetrag — klein, aber genug, um auf einer Spesenabrechnung falsch zu sein.

Rabattstapelung — multiplikativ, nicht additiv

Gestapelte Rabatte gelten für den laufenden Preis, nicht für den ursprünglichen. Bei einer Liste von Prozentrabatten d₁, d₂, …, dₙ jeweils in Dezimalform ist der effektive kombinierte Rabatt:

d_eff = 1 − (1 − d₁)(1 − d₂)…(1 − dₙ)

20 % Rabatt gefolgt von 10 % Rabatt ist also 1 − 0,80 · 0,90 = 0,28, effektiv 28 % — nicht die 30 %, die die naive Addition vermuten ließe. Die Reihenfolge beeinflusst das Ergebnis nicht, weil Multiplikation kommutativ ist.

Präzisionsrichtlinie

Jede Finanzberechnung verwendet JavaScripts native IEEE-754-Doppelpräzision. Das ergibt etwa 15–17 signifikante Stellen, mehr als genug für jedes realistische Szenario der persönlichen Finanzen. Die Ausgabe wird für die Anzeige auf zwei Dezimalstellen gerundet, weil Geld in Cents denominiert ist.

Wir verwenden hier kein BigInt und keine Bibliotheken für beliebige Genauigkeit. Der Krypto-Cluster tut dies (siehe /methodology/crypto/ sobald er erscheint), weil Krypto-Beträge 18 Stellen überschreiten können, Finanzbeträge in keinem vernünftigen Anwendungsfall jedoch nicht.

Quellen, auf die wir uns gestützt haben

• Die Hypothekenformel ist die Standard-PMT-Funktion, die von Microsoft Excel, LibreOffice Calc und jedem Privatkundenbank-Lehrbuch verwendet wird. Sie ist nicht Eigentum irgendeiner Institution; sie ist älter als das elektronische Rechnen überhaupt.
• Zinseszins ist die Barwertformel einer Annuität, die in jedem Finanzlehrbuch des ersten Jahres behandelt wird. Die Form mit Einzahlungen wird in älterer Literatur manchmal als „Tilgungsfonds“-Formel bezeichnet.
• Die US-Trinkgeldspannen stammen aus einer Pew-Research-Umfrage von 2024 und wurden gegen Branchendaten der National Restaurant Association abgeglichen. Der Rechner wählt keinen Prozentsatz für Sie aus; das tun Sie.
• Die Mehrwertsteuer-Mathematik ist Grundschulalgebra. Es gibt keine maßgeblichen Tabellen für Steuersätze nach Rechtsgebiet, weil es allein in den USA über 13.000 davon gibt, plus unterjährige Satzänderungen; wir belassen den Satz als Eingabe.