Mathematik-Methodik

Der Mathematik-Cluster liefert heute drei Werkzeuge — Prozent, Fläche und deskriptive Statistik. Die Mathematik ist Grundschulalgebra; der Wert liegt in den Konventionen (welche Formel für die Varianz, welche Interpolation für das Perzentil, was bei entarteten Eingaben zu tun ist) und darin, diese richtig zu treffen.

Prozent — drei Formeln, ein Werkzeug

Der Prozentrechner deckt die drei Fragen ab, die ~95 % der Prozentanfragen ausmachen:

1. X % von Y — die „finde einen Anteil“-Form. result = (X / 100) × Y.
2. X ist wie viel % von Y — die „Verhältnis als Prozent“-Form. result = (X / Y) × 100. Gibt null zurück, wenn Y null ist.
3. Prozentuale Änderung von X zu Y — vorzeichenbehaftete Differenz. result = ((Y − X) / X) × 100. Gibt null zurück, wenn X null ist (Division durch null, nicht Unendlich).

Die dritte ist die, bei der die meiste Verwirrung entsteht. Die prozentuale Änderung ist vorzeichenbehaftet und verwendet den Ausgangswert als Basis. Die prozentuale Differenz (in einigen wissenschaftlichen Kontexten verwendet) verwendet den Durchschnitt der beiden Werte als Basis und ist vorzeichenlos. Unser Werkzeug berechnet die prozentuale Änderung.

Fläche — Herons Formel für Dreiecke

Der Flächenrechner deckt acht Formen ab. Sieben sind direkte Algebra:

• Rechteck: A = w × h
• Quadrat: A = s²
• Kreis: A = π · r²
• Dreieck (Basis × Höhe): A = ½ · b · h
• Trapez: A = ½ · (a + b) · h
• Ellipse: A = π · a · b
• Regelmäßiges n-Eck: A = (n · s²) / (4 · tan(π / n))

Die achte ist die Dreieck-aus-drei-Seiten-Form, die Herons Formel verwendet:

A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) · wobei s = (a + b + c) / 2

Herons Formel ist eines der ältesten Ergebnisse der Elementargeometrie — Heron von Alexandria veröffentlichte sie im 1. Jahrhundert n. Chr. Sie berechnet die Dreiecksfläche allein aus drei Seitenlängen, ohne dass eine Höhe nötig ist. Verletzen die drei Seiten die Dreiecksungleichung (eine Seite ≥ Summe der anderen beiden), ist der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ und wir geben 0 statt NaN zurück.

Herleitung der Formel für regelmäßige Vielecke

Teile ein regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge s in n gleichschenklige Dreiecke, jedes mit Spitze im Mittelpunkt. Der Spitzenwinkel jedes Dreiecks beträgt 2π / n Radiant. Die Basis jedes Dreiecks ist s; seine Höhe (das Apothem) ist s / (2 · tan(π / n)). Die Dreiecksfläche ist daher s² / (4 · tan(π / n)), und die Vieleckfläche ist n-mal so groß.

Statistik — Stichprobe vs. Grundgesamtheit

Der Statistikrechner liefert Mittelwert, Median, Modus, Varianz, Standardabweichung, Spannweite und Quartilsgrenzen für jeden vom Nutzer eingefügten Datensatz. Zwei Entscheidungen sind wichtig:

Varianz: Stichprobe (n−1) vs. Grundgesamtheit (n)

Die Lehrbuchformel für die Varianz der Grundgesamtheit lautet:

σ² = Σ(x − μ)² / n

Bei einer Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit liegt der Stichprobenmittelwert näher an den Daten als der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit — daher unterschätzt die Summe der quadrierten Abweichungen die wahre Varianz. Die Bessel-Korrektur teilt durch n − 1 statt durch n, um diese Verzerrung zu entfernen:

s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)

Unser Standard ist die Stichprobenform (mit der Korrektur), weil die meisten Nutzer Stichproben einfügen, keine vollständigen Aufzählungen. Ein Schalter in der Oberfläche wechselt bei Bedarf zur Grundgesamtheitsform. Bei großem n ist der Unterschied vernachlässigbar; bei kleinem n ist er bedeutsam.

Perzentil: lineare NIST-Interpolation

Das Perzentil ist mehrdeutig — es gibt mindestens neun dokumentierte Algorithmen (R verwendet sie alle unter verschiedenen `type`-Parametern). Wir verwenden den einfachsten vertretbaren: lineare Interpolation zwischen den beiden nächsten Rängen. Das 50. Perzentil entspricht dem Median; das 0. dem Minimum; das 100. dem Maximum. Das 25. Perzentil von [1, 2, …, 10] ist 3,25 und liegt ein Viertel des Weges zwischen Rang 3 (Wert 3) und Rang 4 (Wert 4).

Dies ist der NIST-Standard, der Standard von NumPy (`linear`-Modus) und der Typ-7-Standard von R. Er ist stetig — kleine Datenänderungen erzeugen kleine Perzentiländerungen — was man für Visualisierungen und Dashboards möchte.

Modus-Behandlung

Der Modus ist der Wert (oder die Werte) mit der höchsten Häufigkeit. Wir geben alle gleichhäufigsten Werte sortiert zurück, sodass ein bimodaler Datensatz wie [1, 1, 2, 2, 3] den Modus [1, 2] zurückgibt, statt willkürlich einen zu wählen. Wenn jeder Wert im Datensatz genau einmal vorkommt, gibt es per Definition keinen Modus und wir geben ein leeres Array zurück (angezeigt als „—“).

Präzision und Randfälle

• Leere Eingabe. Alle zusammenfassenden Statistiken geben NaN zurück; der Modus gibt das leere Array zurück. Die Oberfläche zeigt „—“ für jeden NaN-Wert.
• Stichprobenvarianz bei einem Einzelwert. Der n−1-Divisor erzeugt eine Division durch null. Wir geben NaN statt Unendlich zurück.
• Nicht-numerische Tokens im Parser. Werden stillschweigend entfernt. Das Einfügen von „1, 2, banana, 3“ ergibt einen Datensatz mit drei Werten.