Bileşik Faiz Formülü: Elle Çözülmüş Örnek

Bileşik faiz hesaplayıcıları kullanışlıdır, ama arkalarındaki formülü anlamak, ürettikleri her rakamı — bu sitenin kendi bileşik faiz hesaplayıcısı dahil — mantık kontrolünden geçirebilmeniz anlamına gelir. Bu rehber, formülü yuvarlak sayılarla adım adım işler; böylece aritmetiği elle takip edebilir ve her rakamın tam olarak nereden geldiğini görebilirsiniz.

Formül

Gelecek değer için standart bileşik faiz formülü şudur:

FV = P × (1 + r/n)^(n×t)

burada P başlangıç anaparası, r ondalık olarak yıllık nominal orandır (%6, 0,06'dır), n yılda bileşikleme dönem sayısı ve t yıl cinsinden süredir. (1 + r/n) parantezi tek bir dönemin büyüme faktörüdür; bunu n×t kuvvetine yükseltmek, bu büyümeyi tüm zaman ufku boyunca her dönemde bir kez uygular.

Çözümlü örnek: 1.000 $, %6, yıllık bileşiklenen

En basit durumu ele alalım — yıllık bileşikleme, yani n = 1 ve her "dönem" bir yıldır. Başlangıç anaparası P = 1.000 $, oran r = %6. Her yıl bakiyeyi 1,06 ile çarpın:

Her satır, önceki bakiyenin 1,06 ile çarpımıdır — tüm mekanizma bu kadar. Formülü doğrudan 3. yıl için kullanırsak: 1000 × (1,06)^3 = 1000 × 1,191016 = 1.191,02 $, bu da elle hesaplamayla tam olarak eşleşir. ^3 ifadesi "1,06 ile üst üste üç kez çarp" demenin kısayoludur — formül sadece ara satırları atlar.

Aylık bileşiklemeye geçiş

Şimdi aynı 1.000 $'ı %6 ile yıllık yerine aylık olarak, 3 yıl boyunca bileşikleyelim. Dönemsel oran r/n = 0,06/12 = 0,005 (ayda %0,5) olur ve üs n×t = 12×3 = 36 döneme çıkar:

FV = 1000 × (1,005)^36 = 1.196,68 $

Bu, aynı oran ve süredeki yıllık bileşiklemenin verdiği 1.191,02 $'dan 5,66 $ daha fazladır — faizin yılda bir yerine ayda bir bileşiklenmesinden gelen küçük ama gerçek bir fark. Daha büyük ölçeklerdeki örüntü için bileşikleme sıklığının gerçekte ne kadar önemli olduğuna bakın.

Aylık katkı ekleme

Gerçek tasarrufların çoğu tek seferlik bir toplam değil, düzenli yatırımlar içerir. Genişletilmiş formül bir katkı terimi ekler:

FV = P(1 + r/n)^(nt) + C × (((1 + r/n)^(nt) − 1) / (r/n))

Aynı 1.000 $'ı %6 ile aylık bileşiklemede 3 yıl boyunca alalım, şimdi her ayın sonunda C = 50 $ ekleyelim. Büyüme faktörü (1,005)^36 = 1,19668, öncekiyle aynıdır. Bunu katkı terimine yerleştirin: 50 × ((1,19668 − 1) / 0,005) = 50 × 39,336 = 1.966,79 $. Bunu anaparanın kendi büyümesiyle, 1000 × 1,19668 = 1.196,68 $, toplayın; toplam 3.163,49 $ olur. 36 ay boyunca toplam katkı 1000 + 50×36 = 2.800 $'dır, dolayısıyla kazanılan faiz 3.163,49 $ − 2.800 $ = 363,49 $'dır — bu, bakiyenin gerçekte yatırılandan fazladan ürettiği paradır.

İşinizi kontrol etmek

Üç mantık kontrolü çoğu aritmetik hatasını yakalar. Birincisi, bakiye hiçbir zaman toplam katkılarınızın altına düşmemelidir (oran negatif olmadıkça — bu formül onu modellemez). İkincisi, r = 0'da formül FV = P + C×n'ye indirgenir — büyüme yok, sadece toplama — bu, özellikle katkı terimi için yararlı bir kontroldür. Üçüncüsü, yıl sayısını ikiye katlamak kazanılan faizi asla daha azına değil, her zaman iki kattan fazlasına çıkarmalıdır, çünkü sonraki dönemler daha büyük bir taban üzerinde bileşiklenir. Bu kontrollerden biri başarısız olursa, oranın ondalığa çevrilip doğru n'ye bölündüğünü ve üsse öyle girdiğini yeniden doğrulayın.