Her Yaygın Katı Şekil İçin Hacim Formülleri (Örneklerle)

Hacim, okul matematiğinin en kullanışlı parçalarından biridir; çünkü gerçek dünya onu gerektiren anlarla doludur: beton dökmek, balık tankı boyutlandırmak, çakıl sipariş etmek, bir varil yakıtın maliyetini hesaplamak. Formüller zor değildir, ancak karıştırmak kolaydır ve birim dönüşümleri geometriden çok daha fazla hataya yol açar. Bu rehber neredeyse her şeyi kapsayan sekiz formülü, çalışılmış örnekler ve açıkça işaretlenmiş dönüşüm tuzaklarıyla sunar.

Başlamadan önce: tek bir birim seçin ve ona bağlı kalın

Hacim hatalarının en büyük kaynağı birimlerin karıştırılmasıdır. Kenarları 1 m olan bir küpün hacmi 1 m³’tür; bu 1.000.000cm³’e eşittir, 100’e değil. Uzunluğu metre, genişliği santimetre ile ölçerseniz sonuç anlamsız olur. Herhangi bir formülü uygulamadan önce tüm boyutları aynı birime dönüştürün.

Yararlı dönüşümler:

• 1 m³ = 1.000 litre = 1.000.000 cm³ = 1.000.000 mL
• 1 m³ ≈ 264,17 ABD galonu ≈ 219,97 imperial galon
• 1 m³ ≈ 35,31 fit küp ≈ 1,308 yarda küp
• 1 ft³ ≈ 7,481 ABD galonu

Aşağıdaki çalışılmış örnekleri kontrol etmek için hacim hesaplayıcımızı kullanın.

1. Küre

V = (4/3) π r³

Örnek: 12 cm yarıçaplı bir basketbol topu.

V = (4/3) × π × 12³ = (4/3) × π × 1728 ≈ 7.238 cm³ ≈ 7,24 litre.

2. Silindir

V = π r² h

Örnek: 60 cm yüksekliğinde ve 30 cm yarıçaplı çelik bir tambur (yaklaşık ABD 55 galonluk varil).

V = π × 30² × 60 = π × 900 × 60 ≈ 169.646 cm³ ≈ 169,6 litre ≈ 44,8 ABD galonu.

3. Koni

V = (1/3) π r² h

Örnek: 12 cm yüksekliğinde ve tepede 3 cm yarıçaplı bir dondurma külahı.

V = (1/3) × π × 3² × 12 = (1/3) × π × 9 × 12 ≈ 113,1 cm³ ≈ 113 mL.

4. Piramit

V = (1/3) × taban alanı × h

Örnek: Gize Büyük Piramidi, tabanda yaklaşık 230 m kenar ve 139 m yükseklik.

V = (1/3) × (230 × 230) × 139 ≈ 2.450.633 m³.

5. Dikdörtgen prizma (kübiod)

V = l × w × h

Örnek: Küçük bir teras için 4 m × 3 m × 0,15 m kalınlığında beton döşeme.

V = 4 × 3 × 0,15 = 1,8 m³.

Dökülme ve eşit olmayan alt zemin için 2,0 m³ sipariş edin.

6. Küp

V = s³

Örnek: Kenar başına 5,7 cm olan Rubik küpü.

V = 5,7³ = 185,2 cm³.

7. Torus (halka şekli)

V = 2 π² R r²

Burada R, torustaki tüpün merkezinden torusa olan uzaklık; r ise tüpün yarıçapıdır.

Örnek: R = 30 cm ve r = 2 cmolan bir bisiklet iç lastiği.

V = 2 × π² × 30 × 2² = 240 π² ≈ 2.369 cm³ ≈ 2,37 litre.

8. Elipsoid

V = (4/3) π a b c

Burada a, b ve c, üç ana eksenin yarı uzunluklarıdır.

Örnek:Yaklaşık 6 cm × 4,5 cm × 4,5 cm boyutlarında bir tavuk yumurtası. Yarı eksenler 3, 2,25, 2,25’tir.

V = (4/3) × π × 3 × 2,25 × 2,25 ≈ 63,6 cm³ ≈ 64 mL.

Archimedes’in su deplasmanı yöntemi

Düzensiz bir şekil için — bir heykel, bir kaya, bir motor bloğu — hiçbir formül uygulanamaz. Klasik çözüm deplasmandır: nesneyi bir kap suya batırın ve su seviyesinin ne kadar yükseldiğini ölçün. Deplase edilen hacim nesnenin hacmine eşittir.

Pratik prosedür:

1. Bilinen kesit alanlı bir kabı nesneyi tamamen batırmaya yetecek kadar suyla doldurun.
2. Su seviyesini işaretleyin.
3. Nesneyi tamamen batırın (yüzüyorsa ince bir tel kullanın).
4. Yeni su seviyesini işaretleyin.
5. Nesnenin hacmi = kap kesit alanı × yükseklik farkı.

Gerçek dünya kullanımları

• Beton dökümü. Dikdörtgen prizma formülü, ardından %5-10 fire payı. Hiçbir zaman santimetre kullanmayın.
• Balık tankı kapasitesi. Yalnızca iç boyutlar. Brütten çakıl, dekor ve %10 baş boşluğunu çıkarın.
• Yakıt tankı. Yatay veya dikey silindirik tanklar için silindir formülü.
• Kargo hacmi.Kübiod formülü. Taşıyıcılar “boyutsal ağırlık” uygular.
• Pişirme ve fırıncılık. Yuvarlak tava için silindir, fırın tepsisi için dikdörtgen prizma.

Birim dönüşüm tuzağı, bir kez daha

Hacim, uzunluğun küpüyle ölçeklenir. Her doğrusal boyutu ikiye katlarsanız hacim 8 kat artar, 2 değil. Şüphe durumunda, başlangıç biriminizde hacmi hesaplayın, ardından son hacim değerini bir kez dönüştürün; boyutları formülün ortasında tek tek dönüştürmeyin.

Dürüst özet

Sekiz formül neredeyse her gerçek dünya hacim sorununu kapsar. Geometri basittir; hata modları neredeyse her zaman (a) karışık birimler, (b) yarıçap ile çapı karıştırma ya da (c) hacmin uzunluğun küpüyle ölçeklendiğini unutmaktır. Hacim hesaplayıcımızla karmaşık hesaplamaları doğrulayın ve malzeme sipariş etmeden önce birim dönüşümlerinizi iki kez kontrol edin.